Question

a diagonal de um paralelepipedo retangulo tem 13 dm e a diagonal da base 5 dm. determine as tres dimensoes do paralelepipedo,sendo que a soma de todas suas arestas iguias a 76 dm.

Answer 1

Olá,

A diagonal do paralelepípedo é dado pela fórmula:
$d= \sqrt{a^2+b^2+c^2} \\13 = \sqrt{a^2+b^2+c^2} \\ 13^2 = (\sqrt{a^2+b^2+c^2})^2 \\ 169 =a^2+b^2+c^2$

A diagonal da base de um paralelepípedo é a diagonal do retângulo que a contém:
$d= \sqrt{a^2+b^2} \\ 5 = \sqrt{a^2+b^2}\\5^2=(\sqrt{a^2+b^2})^2 \\25=a^2+b^2$

Encontrarmos as seguintes equações:
$169 =a^2+b^2+c^2\\25=a^2+b^2$

Substituindo a² + b² na primeira equação, temos:
$169 = a^2+b^2+c^2\\ 169 = 25 + c^2 \\ c^2 = 169-25\\c^2 = 144 \\ c = \sqrt{144} \\ c= 12$

Em um paralelepípedo, há 4 arestas iguais em cada dimensão. 2 arestas da base iguais em cada base. 2 arestas laterais iguais em cada face lateral e 2 outras arestas da base iguais em cada base:
4a + 4b + 4c = 76
4a + 4b + 4*12 = 76
4a + 4b = 76 - 48
4a + 4b = 28
4(a+b) = 28
a + b = 28/4
a + b = 7

Sendo:
a + b = 7
a² + b² = 25

Temos: a = 7 - b
Então:
a² + b² = 25
(7-b)² + b² = 25
7² - 2*7*b + b² + b²= 25
49 -14b + 2b² = 25   
-14b + 2b² = 25 -49
-14b + 2b² = -24
14b - 2b² - 24 = 0
-b² + 7b - 12 = 0
b' = 3
b'' = 4

Vamos descobrir a:
a + b = 7
a + 3 = 7
a = 4

Portanto, a = 4, b = 3 e c = 12

Bons estudos ;)