Question

FUVEST (Adaptado)

Sejam x e y dois números reais , com (0 < x < π/2) e (π/2 < y < π) , satisfazendo sen (y) = 4/5 e ( 11 * sen(x) + 5* cos (y-x) = 3 ) . Nessas condições, determine :


a) cotg(y)

b) cos(2 * x)

Answer 1

sen (y) = 4/5

Então:

sen²(y) + cos²(y) = 1

(4/5)² + cos²(y) = 1

cos²(y) = 1 - 16/25

cos²y = 9/25

Como o intervalo está entre 90 e 180°, o valor do cosseno é negativo

cos(y) = -3/5

11*sen(x) + 5*cos(y-x) = 3

Sabemos que:

cos(a-b) = cosa*cosb + sena*senb

Então:

11*sen(x) + 5[cos(y)*cos(x) + sen(y)*sen(x)] = 3

11sen(x) + 5[-3/5*cos(x) + 4/5*sen(x)] = 3

11sen(x) + -3*cos(x) + 4sen(x) = 3

15*sen(x) - 3*cos(x) = 3

[15sen(x)]² = [3+3cos(x)]²

225sen²(x) = 9+18cos(x) + 9cos²(x)

sen²(x) = 1 - cos²(x)

225[1-cos²(x)] = 9+18cos(x)+9cos²(x)

225-225cos²(x) = 9+18cos(x) + 9cos²(x)

234cos²(x)+18cos(x) - 216 = 0

13cos²(x) + cos(x) - 12 = 0

Δ = 1² - 4(13)(-12)

Δ = 1 + 624 = 625

cos(x') = (-1+25)/26 = 24/26 = 12/13

cos(x'') = (-1-25)/26 = -26/26 = -1

Como o intervalo está entre 0 e 90°, vamos usar somente o valor positivo do cosseno.

cos(x) = 12/13

sen²(x)+cos²(x) = 1

sen²(x)+(12/13)²=1

sen²x = 1 - 144/169

sen²(x) = 25/169

sen(x) = 5/13

a) cotg(y) = cos(y) / sen(y)

cotg(y) = (-3/5) / (4/5)

cotg(y) = -3/4

b) cos(2x) = cos²(x) - sen²(x)

cos(2x) = (12/13)² - (5/13)²

cos(2x) = 144/169 - 25/169

cos(2x) = 119/169

Answer 2

Do enunciado do problema, x é um arco do 1o, Quadrante e y é um arco do segundo quadrante.

a) Calculando cos (y)

$sen^2(y)+cos^2(y)=1\\ \\ \left(\frac{4}{5}\right)^2+cos^2(y)=1\\ \\ cos^2(y)=1-\frac{16}{25}\\ \\ cos^2(y)=\frac{9}{25}\\ \\ cos(y)=\frac{3}{5}\\ \\ Mas \ como \ y \ \in \ ao \ 2o. \ Quadrante: \ \ cos(y)=-\frac{3}{5}\\ \\ \boxed{cotg(y)=\frac{cos(y)}{sen (y)}=-\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}}$

b) 
$11sen(x)+5cos(y-x)=3\\ \\ \boxed{Obs.: \ cos(y-x)=cos(y).cos(x)+sen(y).sen(x)}\\ \\ 11sen(x)+5[cos(y).cos(x)+sen(y).sen(x)]=3\\ \\ 11sen(x)+5[-\frac{3}{5}cos(x)+\frac{4}{5}sen(x)]=3\\ \\ 11sen(x)-3cos(x)+4sen(x)=3\\ \\ 15sen(x)-3cos(x)=3\\ \\ 5sen(x)-cos(x)=1\\ \\ \boxed{Sabe-se \ que: \ \ cos(x)=\sqrt{1-sen^2(x)}}\\ \\ 5sen(x)-\sqrt{1-sen^2(x)}=1\\ \\ 5sen(x)-1=\sqrt{1-sen^2(x)}\\ \\ 25sen^2(x)-10sen(x)+1=1-sen^2(x)\\ \\ 26sen^2(x)-10sen(x)=0\\ \\ sen(x)=\frac{5}{13} \\ \\ cos(x)=\sqrt{1-\frac{25}{169}}$
$cos(x)=\frac{12}{13}\\ \\ \boxed{cos(2x)=cos^2(x)-sen^2(x)=\left(\frac{12}{13}\right)^2-\left(\frac{5}{13}\right)^2=\frac{144-25}{169}=\frac{119}{169}}$