Question

(PA) As raízes da equação do 2º grau x²- 3x - 10 = 0 são 1º e o 2º termo de uma PA crescente. Determine quadragésimo nono termo dessa PA.

Answer 1

Olá, primeiro resolvamos a equação quadrática

$\mathtt{x^{2} - 3x - 10 = 0}$

Usemos a fórmula de bháskara, sabendo que ∆ = b² - 4ac

$\mathtt{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}$

$\mathtt{x=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^{2}-~4\cdot1\cdot(-10)}}{2(1)}}$

$\mathtt{x=\dfrac{3\pm\sqrt{49}}{2}}$

$\mathtt{x=\dfrac{3\pm7}{2}}$

Separemos as raízes

$\boxed{\mathtt{x'=\dfrac{3+7}{2}~~>>~~\dfrac{10}{2}~~>>5}}$

$\boxed{\mathtt{x"=\dfrac{3-7}{2}~~>>~~\dfrac{-4}{2}~~>>~~-2}}$

Sabendo que esta é uma P.A. crescente, o valor negativo vem antes

$\mathtt{P.A.=(-2,5...)}$

Calculemos a razão desta P.A.

$\mathtt{r=a_2 -a_1}\\\mathtt{r=5 -(-2)}\\\mathtt{r=5+2}\\\mathtt{r=7}$

Usemos a fórmula geral

$\boxed{\mathtt{a_n=a_1+(n -1)\cdot r}}$

$\mathtt{a_{49}=-2+(49-1)\cdot7}$

$\mathtt{a_{49}=-2+48\cdot7}$

$\mathtt{a_{49}=-2+336}$

$\mathtt{a_{49}=334}$