Question

(Fuvest) O produto de duas raízes do polinômio p(x) = 2*x³ - m*x² + 4*x + 3 é igual a -1. Determine m e as raízes de p.

(Dica : Para n ≠ 0, n * -1 / n = -1).

Answer 1

Olá João


Pelas relações de Girard, o produto das raízes de uma equação polinomial do terceiro grau, é dado por

$\mathsf{ax^3+bx^2+cx+d=0}\\\\\\\mathsf{x_1\cdot x_2\cdot x_3 = \dfrac{-d}{a}}$

Pelo enunciado temos que a = 2 e d = 3. E também sabemos que o produto de duas raízes é igual a -1.

$\mathsf{x_1\cdot x_2=-1}\\\\\\\mathsf{x_1\cdot x_2 \cdot x_3=\dfrac{-d}{a}}\\\\\mathsf{(-1)\cdot x_3=\dfrac{-3}{2}}\\\\\mathsf{x_3=\dfrac{3}{2}}$

Sabendo uma das raízes já é possível encontrar o valor de m

$\mathsf{P(x)=2x^3 - mx^2 + 4x + 3}\\\\\mathsf{2\cdot\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^3-m\cdot\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^2+4\cdot\Big(\dfrac{3}{2}\Big)+3=0}\\\\\\\mathsf{\diagup\!\!\!\!2\cdot\Big(\dfrac{27}{\diagup\!\!\!\!8}\Big)-m\cdot\Big(\dfrac{9}{4}\Big)+\diagup\!\!\!4\cdot\Big(\dfrac{3}{\diagup\!\!\!\!2}\Big)+3=0}\\\\\\\mathsf{\dfrac{27}{4}-\dfrac{9m}{4}+6+3=0}$

Multiplique ambos os lados por 4

$\mathsf{\dfrac{27}{4}-\dfrac{9m}{4}+9=0~~~~\cdot(4)}\\\\\\\mathsf{27-9m+36=0}\\\\\\\mathsf{63-9m=0}\\\\\\\mathsf{-9m=-63}\\\\\\\mathsf{m=\dfrac{-63}{-9}}\\\\\\\mathsf{m=7}$

Portanto o polinômio fica no seguinte formato

$\mathsf{P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 4x + 3}$

A forma fatorada de um polinômio de terceiro grau tem o seguinte formato

$\mathsf{(x-r_1)\cdot(x-r_2)\cdot(x-r_3)}$

Como já sabemos uma das raízes, temos

$\mathsf{x_3=\dfrac{3}{2}~~~\qquad~~ou~\qquad\quad x_3=\dfrac{3}{2}}\\\\\\\mathsf{x_3-\dfrac{3}{2}=0\qquad ou~\quad\qquad 2x_3-3=0}$

Vamos então resolver por fatoração, de forma que o termo 2x - 3 apareça

$\mathsf{P(x)=2x^3-7x^2+4x+3}\\\\\mathsf{P(x)=2x^3-3x^2-4x^2+4x+3}\\\\\mathsf{P(x)=x^2\cdot(2x-3) - 4x^2+4x+3}$

Vamos desmembrar o termo intermediário 4x, de forma que 2x - 3 apareça

Mas antes, vamos multiplicar a raiz 2x - 3 por -2x, para que o primeiro termo fique semelhante ao termo de grau 2 do polinômio, ou seja, -4x²

$\mathsf{2x_3-3=0~\cdot(-2x)}\\\\\mathsf{-4x^2_3+6x=0}$

$\mathsf{P(x)=x^2\cdot(2x-3) - 4x^2+4x+3}\\\\\mathsf{P(x)=x^2\cdot(2x-3)-4x^2+6x-2x+3}\\\\\mathsf{P(x)=x^2\cdot(2x-3)-2x\cdot(2x-3)-(2x-3)}$

Coloque o fator (2x - 3) em evidência

$\mathsf{P(x)=x^2\cdot(2x-3)-2x\cdot(2x-3)-(2x-3)}\\\\\mathsf{P(x)=(2x-3)\cdot(x^2-2x-1)}$

Achando as raízes do polinômio, x² - 2x - 1

$\mathsf{x^2-2x-1=0}$

Some 1 em ambos os lados

$\mathsf{x^2-2x-1+1=1}\\\\\mathsf{x^2-2x+1=1+1}\\\\\mathsf{x^2-2x+1=2}$

No lado esquerdo apareceu o produto notável trinômio do quadrado perfeito ,
(a - b) = a² - 2ab + b²

$\mathsf{x^2-2x+1=2}\\\\\mathsf{(x-1)^2=2}\\\\\mathsf{\sqrt{(x-1)^2}=\sqrt{2}}\\\\\mathsf{(x-1)=\pm\sqrt{2}}\\\\\\\boxed{\mathsf{x'=1+\sqrt{2}}}\\\\\boxed{\mathsf{x"=1-\sqrt{2}}}$

Portanto, as raízes desse polinômio são

$\mathsf{x_1=1+\sqrt{2}}\\\\\mathsf{x_2=1-\sqrt{2}}\\\\\mathsf{x_3=\dfrac{3}{2}}$


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