Question

o grupo para análise de inquéritos administrativos de uma corporação é formado por 3 tenentes e 5 sargentos. Quantas comissões de inquérito, contituídas por 5 pessoas, podem ser formadas, contendo, no mínimo, 1 tenente?

Answer 1

Total de comissões formada sem critérios.

$C8,5 = \frac{8!}{5!(8-5)!}$
$C8,5 = \frac{8!}{5!*3!}$
$C8,5 = \frac{8*7*6*5!}{5!*3*2*1}$
$C8,5 = \frac{8*7*6}{3*2*1}$
$C8,5 = 56$

Total de comissões formadas sem nenhum tenente:
$C5,5 = 1$

Comissões formadas por pelo menos um tenente:

$C8,5 - C5,5 = 56 -1 = 55$

Answer 2

Podem ser formadas 55 comissões de inquérito.

Como a comissão é formada por 5 pessoas, sendo no mínimo 1 tenente, então temos as seguintes condições:

• 1 tenente e 4 sargentos

• 2 tenentes e 3 sargentos

• 3 tenentes e 2 sargentos.

Perceba que para formar grupos, a ordem da escolha das pessoas não é importante. Sendo assim, vamos utilizar a fórmula da Combinação: $\boxed{C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}}$.

Dito isso, temos que:

Para a primeira possibilidade, existem

$C(3,1).C(5,4)=\frac{3!}{1!2!}.\frac{5!}{4!1!}$

C(3,1).C(5,4) = 3.5

C(3,1).C(5,4) = 15 maneiras.

Para a segunda possibilidade, existem

$C(3,2).C(5,3)=\frac{3!}{1!2!}.\frac{5!}{3!2!}$

C(3,2).C(5,3) = 3.10

C(3,2).C(5,3) = 30 maneiras.

Para a terceira possibilidade, existem

$C(3,3).C(5,2)=\frac{3!}{3!0!}.\frac{5!}{2!3!}$

C(3,3).C(5,2) = 1.10

C(3,3).C(5,2) = 10 maneiras.

Portanto, o total de comissões é igual a 15 + 30 + 10 = 55.

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