Question

Teoria dos Números. Divisibilidade.

Prove que

Para todo a, b ∈ ℕ*,

max(a, b) ≤ mmc(a, b) ≤ a · b.

=====

Observações:

• mmc(a, b) é o mínimo múltiplo comum entre a e b.

• A função max(a, b) retorna o maior dos valores a ou b, isto é

max(a, b) = $\left\{\begin{matrix}\mathsf{a,~~~se~a\ge b}\\ \mathsf{b,~~~se~a<b}\end{matrix}$

Answer 1

Usaremos as seguintes propriedades:

$\bullet\,\,$ Sejam $\mathsf{\mathbb{Z}\ni x,y~\textgreater~0}$. Se $\mathsf{x\,|\,y}$, então $\mathsf{y\ge x}$.

$\bullet\,\,$ Sejam $\mathsf{\mathbb{Z}\ni x,y~\textgreater~0}$. Então

$\mathsf{x\cdot y=mmc(x,y)\cdot mdc(x,y)}$
______________________________________

Mostrando que $\mathsf{mmc(a,b)\ge max(a,b)}$:

Seja $\mathsf{m=mmc(a,b)}$. Então, por definição do mínimo múltiplo comum de dois números, $\mathsf{a\,|\,m}$ e $\mathsf{b\,|\,m}$.

$\mathsf{a\,|\,m~~\Longrightarrow~~m\ge a}\\\\\mathsf{b\,|\,m~~\Longrightarrow~~m\ge b}$

Como $\mathsf{m\ge a}$ e $\mathsf{m\ge b}$, então $\mathsf{m\ge max(a,b)}$.
___

Mostrando que $\mathsf{mmc(a,b)\le a\cdot b}$:

Como $\mathsf{a}$ e $\mathsf{b}$ são inteiros positivos, então

$\mathsf{a\cdot b=mmc(a,b)\cdot mdc(a,b)}$

Onde $\mathsf{mdc(a,b)}$ é o maior divisor comum de $\mathsf{a}$ e $\mathsf{b}$. Portanto, temos que $\mathsf{mdc(a,b)\ge1~~\forall\,a,b\in\mathbb{Z^{*}}}$

Então,

$\mathsf{a\cdot b=mmc(a,b)\cdot mdc(a,b)\ge mmc(a,b)\cdot 1=mmc(a,b)}$
_______________________

Concluímos que, para quaisquer $\mathsf{a}$ e $\mathsf{b}$ inteiros positivos, temos

$\bullet\,\,\,\mathsf{max(a,b)\le mmc(a,b)}\\\\\bullet\,\,\mathsf{mmc(a,b)\le a\cdot b}$

Ou, de maneira compacta,

$\boxed{\boxed{\mathsf{max(a,b)\le mmc(a,b)\le a\cdot b}}}$