Question

Encontre os valores de a e b, me explica, please!


 $\lim_{x \to \ 0} \frac{ \sqrt{ax+b}-2 }{x} =1$

Answer 1

$\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt{ax+b}-2 }{x}=1 \\ \frac{ \sqrt{ax+b}-2 }{x} = 1 \\ \sqrt{ax+b}-2=x \\ (\sqrt{ax+b}-2)^2=x^2 \\ ax+b-4 = x^2 \\ a*0 + b - 4 = 0^2 \\ b = 4$


Com o valor de B vamos achar o A agora. Primeiro vou multiplicar pelo conjugado:

$\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt{ax+4}-2 }{x} * \frac{ \sqrt{ax+4}+2}{ \sqrt{ax+4}+2} \\ \\ \frac{ (\sqrt{ax+4})^2-4 }{x*( \sqrt{ax+4}+2 )} \\ \\ \frac{ax}{x*( \sqrt{ax+4}+2 )} \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{a}{ \sqrt{ax+4}+2 } = 1 \\ \\ \frac{a}{4}=1 \\ a=4$

Agora temos o valor de A e B, logo:

$\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt{4x-4}-2 }{x} =1$

De fato essa afirmação é verdadeira, pois se fizemos esse limite iremos ver que ele é igual a 1
Veja:
$\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt{4x-4}-2 }{x}$
Multiplicando pelo conjugado de novo vamos ter:
$\lim_{x \to 0} \frac{4}{ \sqrt{4x+4} + 2}$
Agora aplica o limite em x:
$\lim_{x \to 0} \frac{4}{ \sqrt{4*0+4} + 2}= \frac{4}{4} = 1$