Question

Determine Z € C que satisfaz a condição.

A) |Z| + i. z= 1-3i

B) z + |Z| = 2+ i

Answer 1

Os números complexos possuem uma parte real e uma parte imaginária, e podem ser escritos como z =a+bi

Nos números complexos, o módulo de um número complexo Z é calculado como:

|z| = √a²+b², onde:

|z| = módulo = número real positivo que corresponde a um número complexo
a = parte real
b = parte imaginária

Vamos aos exercícios:

A) |Z| + i * z= 1-3i

O módulo de z pode ser escrito como:
√(a²+b²) + (a+bi)*i = 1 - 3i
√(a²+b²) + ai+b*(i)² = 1- 3i

Sabendo que i² = -1

√(a²+b²) + ai - b  = 1- 3i

Igualando as partes real e imaginária, temos: 

Parte real : √(a² + b²) - b = 1 
Parte imaginária: a = -3 

Substituindo a=-3 na parte real, temos:

√((-3)² + b²) - b = 1 
√(9 + b²) = 1 + b 
9 + b² = (1+b)² = 1 + 2b + b² 
9 = 1 + 2b 
2b = 8 
b = 4 

Desta forma, como z = a + ib, a resposta é z = -3 + 4i.


B) z + |Z| = 2+ i
z = a + bi
|z| = √a²+b²

a + bi + √a²+b² = 2 + i

Vamos igualar as partes reais com as reais e as imaginárias com as imaginárias:

Parte real: a + √a²+b² = 2
Parte imaginária: bi = i, portanto:

b = i/i 
b = 1

Substituindo b=1 na parte real, temos:

a + √a²+1² = 2
√a²+1 = 2-a

Elevando os dois lados da igualdade ao quadrado:

(√a²+1)² = (2-a)²
a² + 1 = 2² + 2*2*(-a) + (-a)² 
a² + 1 = 4 -4a +a²
a² - a² + 4a = 4 - 1
4a = 3
a = 3/4

Desta forma, como z = a + ib, a resposta é z = 3/4 + i.