Question

Calcule a, b e C de modo que o vértice da parábola representativa da função f(x)= ax2 +bx +C seja (1,-16) e que -3 seja um zero da função

Answer 1

As coordenadas do vértice são das pela relação: 

V = (-b/2a,-∆/4a), onde ∆ = b²-4ac 

Então: 

-b/2a = 1 → b = -2a 
e 
-(b²-4ac)/4a = -16 

Substituindo o valor de b da primeira equação na segunda temos: 

-((-2a)²-4ac)/4a = -16 

(4a²-4ac)/4a = 16 

a-c = 16 

c = a-16 

As raízes são: 

x = (-b ± √(b²-4ac))/2a 

Então: 

x₁ = (-b + √(b²-4ac))/2a = -3 
ou 
x₂ = (-b - √(b²-4ac))/2a = -3 

Substituindo b e c temos: 

(-(-2a) ±√((-2a)²-4a(a-16)))/2a = -3 

(2a ±√(4a²-4a²+64a))/2a = -3 

2a ±√(64a) = -6a 

±√(64a) = -8a 


Elevando os dois membros ao quadrado temos: 

(±√(64a))² = (-8a)² 

64a = 64a² 

Dividindo os dois membros por 64a temos: 

a = 1 

Substituindo em b = -2a e c = a-16 temos: 

b = -2(1) → b = -2 
e 
c = (1)-16 → c = -15

Answer 2

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que os coeficientes da referida função quadrática são, respectivamente:

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf a = 1,\:\:\:b = -2\:\:\:e\:\:\:c = -15\:\:\:}}\end{gathered} }$  

Toda função do segundo grau pode ser escrita em sua forma geral como:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = ax^{2} + bx + c\end{gathered}$

Sabendo que o vértice da parábola pode ser calculado como:

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} V = \bigg(-\frac{b}{2a},\,\frac{-(b^{2} - 4ac)}{4a}\bigg)\end{gathered} }$

Desta forma, devemos montar e resolver o seguinte sistema de equações:

   $\Large\begin{cases} -\dfrac{b}{2a} = 1\\\\\dfrac{-b^2 + 4ac}{4a} = -16\\\\ a\cdot(-3)^{2} + b\cdot(-3) + c = 0\end{cases}$

Isolando "b" na primeira equação, temos:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} -\frac{b}{2a} = 1\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} -b = 2a\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} b = -2a\end{gathered}$

Substituindo o valor de "b" na segunda equação, temos:

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{-(-2a)^{2} + 4ac}{4a} = -16\end{gathered} }$

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{-4a^{2} + 4ac}{4a}= -16\end{gathered} }$

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{{\!\diagup\!\!\!\!\!\!4a}\cdot(-a + c)}{\!\diagup\!\!\!\!\!\!4a}= -16\end{gathered} }$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} -a + c = -16\end{gathered}$

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} c = a - 16\end{gathered}$

Inserindo o valor de "b" e "c" na terceira equação, temos:

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} a\cdot(-3)^{2} + (-2a)\cdot(-3) + (a - 16) = 0\end{gathered}$

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} 9a + 6a + a - 16 = 0\end{gathered}$

                                                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} 16a = 16\end{gathered}$

                                                                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} a = \frac{16}{16}\end{gathered}$

                                                                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} a = 1\end{gathered}$

Obtendo o valor de "b":

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} b = -2a = -2\cdot1 = -2\end{gathered}$

Obtendo o valor de "c":

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} c = a - 16 = 1 - 16 = -15\end{gathered}$

✅ Portanto, os valores dos coeficientes são:

                        $\Large\begin{cases} a = 1\\b = -2\\c = -15\end{cases}$

Desta forma a função será:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = x^{2} - 2x - 15\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

             

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$