Question

Suponha que em certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por V(x,y,z) = 5x2-3xy+xyz.
a) Determine a taxa de variação do potencial em P (3,4,5) na Direção do vetor v = i + j - k.
b)Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P?
c? Qual a taxa de variação em P?

Answer 1

$\boxed{V(x,y,z)=5x^2-3xy+xyz}$

derivando 

em relação ao eixo x
$\boxed{ \frac{d V}{dx}= 10x-3y+yz}$

em relação ao eixo y
$\boxed{\frac{dV}{dy} =-3x+xz}$

em relação ao eixo z
$\boxed{ \frac{dV}{dz}=xy }$
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calculando as derivadas parciais aplicadas no ponto P (3;4;5)
nós teremos o vetor  gradiente, que nós da a direção onde o potencial eletrico irá aumentar mais rapidamente

$\boxed{ \frac{d V(p)}{dx}= (10*3)-(3*4)+(4*5)= 38}$
.
$\boxed{\frac{dV(P)}{dy} =-(3*3)+(3*5)=6}$

$\boxed{ \frac{dV(P)}{dz}=3*4 =12}$

portanto
$\nabla V(P)=(38;6;12)$

nessa direção a taxa de variação é maxima
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a) Determine a taxa de variação do potencial em P (3,4,5) na Direção do vetor
v = i + j - k.

$V = (1;1;-1)\\\\\\|V|= \sqrt{1^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{3}$

a taxa de variação na direção do vetor V
será o produto escalar entre o vetor $\nabla V(P)$ pelo versor de V =$\frac{V}{|V|}$

$\boxed{\nabla V(P) _X \frac{V}{|V|} }\\\\\\(38;6;12)_X \frac{(1;1;-1)}{ \sqrt{3} } \\\\\\ \frac{(38*1)+(6*1)+(12*-1)}{ \sqrt{3} } = \frac{32}{ \sqrt{3} }$
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b)Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P?

ele vai variar mais rapidamente na direção do vetor $\nabla V(P)$

resposta: $(38;6;12)$
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c? Qual a taxa de variação em P?

a taxa de variação em P será igual o módulo do vetor  $\nabla V(P)$

$|\nabla V(P)| =\sqrt{38^2+6^2+12^2} = \sqrt{1624}$