Question

Quanto da a Derivada dessa função?
l) y = ln (x3+1)

Answer 1

Resolução da questão, veja:

Vamos derivar essa função pela regra da cadeia, observe:

$\mathsf{\dfrac{d}{dy}~ln~(x^{3}+1)}}}}\\\\\\\\\ \mathsf{f'(y)=\dfrac{1}{x^{3}+1}}~\cdot~\mathsf{\dfrac{d}{dy}~((x^{3}+1))}}}}}\\\\\\\\\\ \mathsf{f'(y)=\dfrac{1}{x^{3}+1}}~\cdot~\mathsf{\bigg(\dfrac{d}{dy}(x^{3})+\dfrac{d}{dy}(1)\bigg)}}}}\\\\\\\\\ \mathsf{f'(y)=\dfrac{1}{x^{3}+1}}~\cdot~\mathsf{(3x^{3-1}+0)}}}}}}\\\\\\\\\ \mathsf{f'(y)=\dfrac{1}{x^{3}+1}}~\cdot~\mathsf{(3x^{2})}}}}\\\\\\\\\\ \large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{f'(y)=\dfrac{3x^{2}}{x^{3}+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Ou seja, a derivada da função y = ln (x³ + 1) é f'(y) = 3x²/x³ + 1.

Espero que te ajude. '-'

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a derivada da referida função é:

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf y' = \frac{3x^{2}}{x^{3} + 1}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = \ln(x^{3} + 1)\end{gathered}$

Observe que a função "y" é uma função composta. Desta forma, podemos reescreve-la como:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = h(x) = f(g(x))\end{gathered}$

Para calcular a derivada da função "h(x)", devemos utilizar a regra da cadeia. Neste caso, temos:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} y' = h'(x)\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = f'(g(x))\cdot g'(x)\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{1}{g(x)}\cdot g'(x)\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{1}{x^{3} + 1}\cdot 3\cdot x^{3 - 1} + 0\end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{3x^{2}}{x^{3} + 1}\end{gathered} }$

✅ Portanto, a derivada de "y" é:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y' = \frac{3x^{2}}{x^{3} + 1}\end{gathered} }$

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Veja a solução gráfica represntada na figura: