Question

José decidiu medir a altura de uma árvore que fica perto de sua casa. Ele posicionou seu teodolito e observou o topo da árvore sob um ângulo de 72°. Em seguida, afastou-se 20 metros e posicionou novamente o teodolito, agora, observou o topo da árvore sob um ângulo de 46° sabendo que a altura do teodolito é 1,50 m. Após jogar alguns cálculos, qual foi a altura que José descobriu?
(dados: Tg 72°= 3,07 e Tg 46°= 1,03)
ME RESPONDAM, POR FAVOR!

Answer 1

Temos dois triângulos retângulos onde um dos catetos.
 
No primeiro caso o cateto oposto ao ângulo de 72° é a altura da árvore, que chamaremos de "x", menos a altura do teodolito, que é 1,5m.
Dessa forma o cateto oposto será "x - 15".
Já o cateto adjacente ao ângulo de 72° é a distância entre a árvore e o teodolito, vamos chamar essa distância de "y". Assim, para o primeiro triângulo, temos que:

tg∅ = co / ca
tg72° = (x - 1,5) / y
3,07 = (x - 1,5) / y
3,07y = x - 1,5

Por outro lado, no segundo caso, temos que o cateto oposto ao ângulo de 46° é o mesmo do primeiro caso, ou seja, "x - 15".
Já o cateto adjacente, será a mesma distância entre a árvore e o teodolito do primeiro caso somada a 20 metros, ou seja, "y + 20". Assim, para o segundo caso temos que:

tg∅ = co / ca
tg46° = (x - 1,5) / (y + 20)
1,03 = (x - 1,5) / (y + 20)
1,03 * (y + 20) = x - 1,5
1,03y + 20,6 = x - 1,5
1,03y = x - 1,5 - 20,6
1,03y = x - 22,1

Assim, temos um sistema de 2 equções e 2 icógnitas. Vamos subtrair uma equção da outra para determinar o valor de "y".

3,07y = x - 1,5
1,03y = x - 22,1

3,07y - 1,03y = x - x -1,5 + 22,1
2,04y = 20,6
y = 20,6 / 2,04
y = 10,1

Vamos substituir o valor de "y = 10,1" em qualquer uma das equções para definir o valor de "x".

1,03y = x - 22,1
1,03 * 10,1 = x - 22,1
10,4 = x - 22,1
10,4  + 22,1 = x
x = 32,5

Portanto, a árvore mede 32,5 metros de altura.