quando karl friedrich gauss,estudava na escola primária,um professor de matemática solicitou aos alunos que tentassem resolver as somas de todos os numeros compreendidos entre 1 e 100.em pouco tempo gauss apresentou o resultado da soma :5050 cujo raciocinio basico e obtido multiplicando-se 101 por 50.Usando o raciocinio de Gauss responda quanto vale o produto (multiplicação) 1,2,4,8,16,32,64,128
Respostas
A sequência informada é uma progressão geométrica com base 2, podemos escrever todos os valores em forma de potência de 2.
1 = 2^0; 2 = 2^1; 4 = 2^2; ... ; 128 = 2^7
Multiplicação de potências de mesma base conservamos a base e somamos o expoente. Devido a essa característica é possível comprar os expoentes a sequência acima:
Soma dos números compreendidos entre 0 e 7.
Seguindo a lógica de Gauss vamos pegar os números extremos e somar:
0+7 = 7
E depois multiplica pela metade:
7*3 = 21.
O 21 é o expoente do 2, então:
2^21 é o resultado da multiplicação.
O resultado do produto é 2²⁸.
O raciocínio de Gauss consiste em somar os termos de uma progressão aritmética cuja fórmula é:
Sn = (a1 + an)n/2
Como neste caso, temos a1 = 1, a100 = 100 e n = 100, Substituindo na fórmula, teríamos justamente o que ele fez, somou os dois valores e multiplicou por 50:
Sn = (1 + 100)*50
No caso do produto entre estes termos, temos uma progressão geométrica de razão 2, ou seja, os números podem ser escritos como potência de 2: 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵, 2⁶, 2⁷. Pelo raciocínio de Gauss, utilizando apenas os expoentes, vamos somar os extremos e multiplicar pela metade do número de termos:
Pn = (a1 + an)*(n/2)
Pn = (0+7)*(8/2)
Pn = 7*4
Pn = 28
Logo, o expoente do resultado será 28, então o valor do produto destes números é 2²⁸.
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