Question

na figura a medida do arco X na circunferência de centro O é : a)52° b)62° c)72° d)80° e)82°

Answer 1

Vamos chamar o ponto de intersecção entre os dois segmentos de reta de "P"

Então podemos definir dois triângulos APB e CPD. Esse triângulos são semelhantes.

Nesses triângulos vemos que o ângulo relativo ao ponto "P" é suplementar de 80°, assim temos que:

ângulo em P + 80° = 180°
ângulo em P = 180° - 80°
ângulo em P = 100°

Portanto, o ângulo relativo ao ponto "P" nos dois triângulos é 100°.

Os ângulos relativos aos pontos "A" e "D" em cada triângulo são congruentes e possuem media igual a metado do arco definido pelos pontos "B" e "C".
Como o arco entre os pontos "B" e "C" mede 98°, os ângulos relativos aos pontos "A" e "D" mede a metade de 98°, ou seja, mede 49°.

Portanto, no triângulo APB, temos 49° em "A" e 100° em "P", da mesma forma, no triângulo CPD, temos 49° em "D" e 100° em "P", dessa forma podemos determinar o valor dos ângulos em "B" e "C" pelo fato de a soma dos ângulos internos de um triângulo ser igual a 180°, vamos chamar de "k" o valor dos ângulos em "B" e "C".

49° + 100° + k = 180°
149° + k = 180°
k = 180° - 149°
x = 31°

Portanto, no triângulo APB, temos 49° em "A", 100° em "P" e 31° em "B", da mesma forma, no triângulo CPD, temos 49° em "D", 100° em "P" e 31° em "C".

Assim, temos que a medida "x" do arco a ser determinado é igual ao dobro do valor da medida dos ângulos relativos aos pontos "B" e "C".
Como a medida dos ângulos relativos aos pontos "B" e "C" é 31°, a medida "x" do arco é o dobro de 31°, ou seja, 62°.

Obs.: Vide imagem abaixo.

A alternativa "b" está correta.