Question

na representação a seguir, Juliana encontra-se a ponto a. Do ponto do lado da Praça, há uma panificadora. Para chegar a esse local, Juliana pode percorrer 3 caminhos diferentes: contornar a praça pela direita ou à esquerda ou, ainda, atravessá-la sempre usando a calçada. Quantos metros tem cada um dos caminhos?

Answer 1

Isaaquino,

Inicialmente, vamos dar nome aos pontos da praça:
- o ponto ao atravessar a praça será D
- o ponto à esquerda do D, será B
- o ponto à direita do D, será C

As distâncias que precisamos obter, então, são:

AD, ABD e ACD.

Para isto, sabemos que a praça é um triângulo retângulo, no qual:
- AB é o cateto menor
- AC é o cateto maior
- BC é a hipotenusa
- AD é a altura relativa à hipotenusa
- BD é a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa
- CD é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa

Precisamos agora obter as distâncias AB e AC, que são catetos deste triângulo retângulo, no qual BC é a hipotenusa, e também a distância AD que é a altura relativa à hipotenusa.

Vamos começar pela distância AD, que é a altura relativa à hipotenusa. Sabemos que a altura é a média geométrica entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Então:

AD = √BD × CD
AD = √36 × 64
AD = √2.304

AD = 48 m

A distância AB pode ser obtida quando observamos o triângulo ABD, pois ele é triângulo retângulo e AB é sua hipotenusa. Aplicando então o Teorema de Pitágoras, obtemos:

AB² = AD² + BD²
AB² = 48² + 36²
AB² = 2.304 + 1.296
AB² = 3.600
AB = √3.600

AB = 60 m

A distância AC é hipotenusa do triângulo ACD, onde os catetos são AD e CD. Então, novamente aplicando o Teorema de Pitágoras:

AC² = AD² + CD²
AC² = 48² + 64²
AC² = 6.400
AC = √6.400

AC = 80 m

Agora, basta soma as distâncias para obter os outros dois caminhos:

AB + BD = 60 m + 36 m = 96 m

AC + CD = 80 m + 64 m = 144 m

R.: Os três caminhos medem:

Atravessar a praça = 48 m

Contornar pela direita = 96 m

Contornar pela esquerda = 144 m