Question

(UFU-2013) Considere g e h duas funções reais de variável real x, tal que g(x) está descrita graficamente a seguir, em que dois arcos de parábolas (correspondentes
aos gráficos de funções quadráticas) são conectados por um segmento de reta (correspondente à parte do gráfico de uma função afim) e h(x) = x + k, sendo k uma constante real positiva. Sabe-se que a composição (goh)(5) = 2.

Considerando as informações apresentadas, estruture e execute resoluções de maneira a

A) determinar as coordenadas de A (ponto do eixo Ox presente na descrição gráfica de g(x));

B) encontrar o valor da constante real positiva k.

Answer 1

A) atente à primeira parábola:

sabendo que g(x) = -ax²+bx+c = 0
para x = 0 temos y = 0, logo c = 0
assim, g(x) = -ax²+bx=0

para x = 1 temos g(x) = 0, logo
-a+b=0
a=b

para o ponto (-0,5;-0,5)
g(-0,5) = -a.(-0,5)² + b.(-0,5)
-0,25.a -0,5.a = -0.5
-0,75.a = -0,5
a = 2/3

para x = 2, que é o ponto onde a parábola une-se à parte reta, temos
g(x) = (-2/3).2²+(2/3).2 = (-8/3)+(4/3) = -4/3

descobrindo o coeficiente angular da reta:
m = [2-(-4/3)]/(3-2) = 10/3

encontrando o ponto A
(2-0)/(3-A) = 10/3
2 = 30/3 - 10A/3
10A/3 = 8
A = 2,4
Logo, coordenadas de A (2,4;0)

B) g(5+k) = 2
Sabendo que g(3) = 2
Usando a parábola da direita
g(x) = a.(x-4).(x-6)
2 = a.(3-4).(3-6)
2 = a.(-1).(-3)
a = 2/3

Ficaremos com g(x) = (2/3).(x-4).(x-8)
g(x) = (2/3).(x²-10x+24)

para x=5+k
(2/3).[(5+k)²-10(5+k)+24] = 2
(2/3).(k²-1) = 2
k²-1 = 3
k² = 4
k = ±2

como o enunciado dia constante real positiva, k=2