Question

A reta de equação y=2-x determina a circunferência x2 +y2 =4 dessa corda.
Redonda :
a) quanto vale o comprimento dessa corda?
b) quais são as coordenadas do ponto médio dessa corda?

Answer 1

Temos a reta dada por:

y = 2 - x

E temos a circunferência definida por:

x² + y² = 4

Vamos substituir os valor de "y = x - 2" na equação da circunferência para determinar os valores de "x" dos pontos de intersecção entre a circunferência e a reta.

x² + y² = 4
x² + (2 - x)² = 4
x² + (4 - 4x + x²) = 4
x² + 4 - 4x + x² = 4
2x² - 4x + 4 = 4
2x² - 4x = 4 - 4
2x² - 4x = 0     (÷2)
x² - 2x = 0
x * (x - 2) = 0

x' = 0

x'' - 2 = 0
x'' = 2

Vamos substituir os valores de x' e x'' na equação da reta para determinar os valor de "y" dos pontos de intersecção entre a reta e a circunferência.

y = 2 - x

y' = 2 - x'
y' = 2 - 0
y' = 2

y'' = 2 - x''
y'' = 2 - 2
y'' = 0

Portanto, a reta e a circunferência se inteceptam nos pontos (0, 2) e (2, 0)

a)
Vamos determinar o comprimento da corda delimitado pelos pornto (0, 2) e (2, 0)

d² = Δx² + Δy²
d² = (2 - 0)² + (0 - 2)²
d² = (2)² + (-2)²
d² = 4 + 4
d² = 8
d = √8
d = √2³
d = 2√2

Portanto, o comprimento da corda é 2√2.

b)
Vamos determinar as coordenadas dos ponto médio da corda delimitada pelos pontos (0, 2) e (2, 0)

Xm = (0 + 2) / 2 = 2 / 2 = 1

Ym = (2 + 0) / 2 = 2 / 2 = 1

Portanto, as coordenadas do ponto médio da corda é (1, 1).