Question

(ESPM -SP 2014)A função f(x) = ax + b é estritamente decrescente. Sabe-se que f(a) = 2b e f(b) = 2a. O valor de f(3) é:

Resposta= -2

Answer 1

$f(x)=ax+b\\\\f(a)=a\cdot{a}+b\\f(a)=a^2+b\\\\a^2+b=2b\\a^2-b=0\\b=a^2\\\\f(b)=ab+b\\ab+b=2a\\b\cdot(a+1)=2a\\a^2\cdot(a+1)=2a\\a^3+a^2-2a=0\\a\cdot(a^2+a-2)=0\\a=0$

a = 0 não serve como solução, pois temos uma função estritamente decrescente, e a = 0, teríamos uma função constante.

$\triangle=1-4\cdot(1)\cdot(-2)\\\triangle=1+8\\\triangle=9\\\\\\a= \dfrac{-b \frac{+}{-}3}{2} \\\\\\a'=1$

Não serve como solução, pois para a = 1, teríamos uma função crescente

$a"=-2$

$f(x)=ax+b\\\\f(x)=-2x+4\\\\f(3)=-2\cdot3+4\\f(3)=-6+4\\f(3)=-2$

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Sendo a função estritamente decrescente, temos que a < 0. Além disso, sendo  e f(a) = 2b e f(b) = 2a, podemos calcular o valor de a:

$a = \frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{2a-2b}{b-a} = \frac{-2(b-a)}{b-a} = -2$

Também podemos considerar a relação f(x) = ax + b. Se considerarmos f(a), temos que f(a) = a . a + b => f(a) = $a^2 + b$. Como f(a) = 2b, calculamos:

$a^2 + b = 2b$

Isto nos mostra que b = a . a = $a^2$. Como a = -2, temos que b = $(-2)^2 = 4$.

Substituindo para f(3):

$f(3) = -2.(3) + 4 = -6 + 4 = -2$