Question

SOCORRO.
Dada a função f (x) = 2x+1 / x-3, com x diferente de 3, determine:

b) D(F-1)

c) Im (f-1)

d) f-1 (-4)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Hihi, que a resolução é simples.
Tem-se: dada a função f(x) = (2x+1)/(x-3) , com x ≠ 3, pede-se para determinar:

a) f⁻¹(x) ---- (ou seja, pede-se a inversa da função acima).
b) D[f⁻¹(x)] --- (ou seja, pede-se o domínio da inversa da função acima).
c) Im[f⁻¹(x)] --- (ou seja: o conjunto-imagem da inversa da função acima).
d) f⁻¹(-4) --- (ou seja: qual é o valor de "-4" na inversa da função acima).

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
Como estão sendo pedidas informações apenas sobre a inversa da função dada, então vamos encontrar qual é a inversa.

i) Encontrando a inversa da função f(x) = (2x+1)/(x-3), com x ≠ 3.
Para encontrar a inversa, siga estes passos:

ii) Troca f(x) por "y", com o que a nossa função ficará sendo esta:

y = (2x+1)/(x-3)

ii) Agora você troca "y" por "x" e troca "x" por "y", com o que ficaremos assim:

x = (2y+1)/(y-3) , com y ≠ 3

iii) Agora iremos fazer todas as operações indicadas para encontrarmos o valor de "y". E quando tivermos feito isso, já estaremos encontrando a inversa.
Vamos apenas repetir a função acima, quando trocamos "y" por "x" e "x" por "y", e que é esta:

x = (2y+1)/(y-3) ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
x*(y-3) = 2y+1 ---- efetuando o produto indicado no 1º membro, temos:
xy - 3x = 2y + 1 ---- vamos passar "2y" para o 1º membro e vamos passar "-3x" para o 2º, com o que ficaremos assim:

xy - 2y = 3x + 1 ---- vamos colocar "y" em evidência no 1º membro, ficando:
y*(x - 2) = 3x + 1 ---- agora isolaremos "y", ficando:
y = (3x+1)/(x-2) <--- Esta já é a inversa. Vamos apenas trocar "y" para "f⁻¹(x)", que é a forma consagrada de funções inversas. Assim, fazendo isso, teremos:

f⁻¹(x) = (3x+1)/(x-2) <--- Esta é a função inversa de f(x) = (2x+1)/(x-3). Ou seja, esta é a resposta para a questão do item "a".

b) Dê o domínio de f⁻¹(x), ou seja, pede-se o D[f⁻¹(x)].

Veja: para isso, basta que vejamos qual é a restrição existente na inversa. Veja: se temos que a inversa é esta:

f⁻¹(x) = (3x+1)/(x-2) ---- então note que a restrição é que o denominador seja DIFERENTE de "0". Então vamos impor isto. Assim:

x - 2 ≠ 0
x ≠ 2

Assim, o domínio de f⁻¹(x) serão todos os reais tal que "x" é diferente de "2".
Se você quiser, poderá apresentar o domínio de f⁻¹(x) da seguinte forma:

S = {x ∈ R | x ≠ 2} ---- ("x" pertencente aos Reais, tal que "x" é diferente de 2).

Ou ainda, se quiser, você poderá apresentar o domínio da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = R - {2} ---- (são os reais menos o "2") .

Ou ainda, e também se quiser, o domínio de f⁻¹(x) poderá ser apresentado da seguinte forma, o que significa a mesma coisa:

S = (-∞; 2) ∪ (2; +∞) ---- (intervalo aberto de menos infinito até "2" união intervalo aberto de "2" até mais infinito).

c) Dê o conjunto-imagem de f⁻¹(x) ou seja pede-se Im[f⁻¹(x)].

Agora note isto e nunca mais esqueça: o conjunto-imagem de uma função nada mais é do que o domínio da inversa dessa função.
Ora, como já temos que a função f⁻¹(x) = (3x+1)/(x-2) é a inversa de f(x)=(2x+1)/(x-3), então se fôssemos procurar a inversa de f⁻¹(x) = (2x+1)/(x-3), iríamos voltar para a função original [f(x) = (2x+1)/(x-3).
E, como o domínio da função original é "x" ≠ 3, então o conjunto-imagem da inversa será (TAMBÉM) x ≠ 3.
Logo, o conjunto-imagem de f⁻¹(x) será:

f⁻¹ (x) ≠ 3 ----- Esta é a resposta para o item "c".

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-imagem da seguinte forma, o que dá no mesmo:

Im[f⁻¹(x) = {f⁻¹(x) ∈ R | f⁻¹(x) ≠  3} ----- (o conjunto-imagem todos os f⁻¹(x) pertencentes aos Reais, tal que f⁻¹(x) é diferente de 3).

Também se quiser, poderá apresentar o conjunto-imagem da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

Im[f⁻¹(x)] = R - {3} ---- (serão todos os reais menos o "3").

E, finalmente, e ainda se quiser, o conjunto-imagem de f⁻¹(x) poderá ser dado da seguinte forma:

Im[f⁻¹(x)] = (-∞; 3) ∪ (3; +∞) ----- (é o intervalo aberto de menos infinito até "3" união com o intervalo aberto de "3" até mais infinito).

d) Dê o valor de f⁻¹(-4).

Veja: para isso, basta irmos em f⁻¹(x) = (3x+1)/(x-2) e substituirmos o "x" por "-4". Assim, fazendo isso, teremos:

f⁻¹(-4) = [3*(-4) + 1]/[-4-2)
f⁻¹(-4) = [-12 + 1]/[-6]
f⁻¹(-4) = [-11]/[-6] ---- como, na divisão, menos com menos dá mais, então ficaremos assim:

f⁻¹(-4) = 11/6 <--- Esta é a resposta para o item "d".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.