Question

Verificar se R -> R, definida por f(x) = 3x+2, é bijetora. Justifique

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Hihi, que a resolução é simples.
Pede-se para verificar se a função de R em R, definida como f(x) = 3x + 2 é bijetora ou não.

Antes veja que uma função será bijetora se for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
Agora vamos ver o que é uma função injetora e ver o que é uma função sobrejetora.

i) Uma função será injetora se o conjunto-imagem for 'flechado" apenas uma vez pelos elementos do domínio (que são os valores atribuídos a "x").
Note que numa função do tipo injetora não necessariamente o conjunto-imagem será igual ao contradomínio, pois algum elemento do contradomínio poderá deixar de ser "flechado" por algum elemento do domínio.
Por exemplo: se tivermos:

Domínio -------- contradomínio
. . .  0 ----------------> 0
. . .  1 ----------------> -1/4
. . .  . . . . . . . . . . . .. . k
. . .  3 ----------------> -3/2

Note que temos aí em cima, uma função de R em R, definida por, exemplo, por: y = x/(x-5)

Note: o elemento "k" do contradomínio não está "flechado" por nenhum elemento do domínio. Mas, no entanto, cada elemento existente no domínio só "flechou" uma e somente uma vez cada elemento do contradomínio. Assim, como você pode verificar, o conjunto-imagem (que só são os elementos "flechados" no contradomínio) não é igual ao contradomínio, pois no contradomínio o elemento "k" entra, mas no conjunto-imagem o elemento "k" NÃO entra (pois possivelmente esse "k" seria o valor quando o "x" do domínio fosse igual a "5". E, no entanto, "5" não pode ser um elemento do domínio, pois "x" não poderia assumir valor "5", ou seja, a função y = x/(x-5) não é definida para x = 5, pois não existe divisão por zero). E isso caracteriza uma função injetora. E, assim, o conjunto-imagem. NÃO é igual ao contradomínio. Mas bem que poderia sê-lo, ou seja, todos os elementos do domínio poderiam "flechar" apenas uma e somente uma vez cada elemento do contradomínio e, assim, a função seria injetora da mesma forma.
O que estamos dizendo é que, numa função injetora, um elemento do contradomínio poderá NÃO ser "flechado" por um elemento do domínio (como é o caso do "k" do nosso exemplo acima).

ii) Uma função será considerada sobrejetora se mais de um elemento do domínio "flechar" um e somente um elemento do contradomínio e não sobrar nenhum elemento do contradomínio que não seja "flechado" por um ou mais elementos do domínio. Ou seja, na condição de sobrejetora, o conjunto-imagem será EXATAMENTE igual ao contradomínio.
Por exemplo:

Domínio ----- Contradomínio
. . (-1) ------------> 1
....(+1) -----------> 1
....(0) -------------> 1
....(10) -----------> 1

Veja: aqui vemos que temos uma função de R em R definida, por exemplo,  por: y = 1, ou seja, todo valor atribuído a "x" vai "flechar" o "1" no contradomínio, significando que o contradomínio é exatamente igual ao conjunto-imagem.


iii) Assim, uma função será bijetora se for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
Note que na função dada, que é esta:

f(x) = 3x + 2  ----- ela será injetora, pois cada elemento do domínio "flechará" apenas um e somente um elemento do contradomínio; e, por outro lado, ela também será sobrejetora, pois  vamos ter o contradomínio EXATAMENTE igual ao conjunto-imagem, pois para cada valor do domínio (valores atribuídos a "x") vão flechar sempre uma e somente uma vez cada elemento do contradomínio.

Veja o que ocorre quando começarmos a atribuir valores a "x" (do domínio) em relação ao contradomínio (que serão os elementos "flechados" no contradomínio), considerando a função de R em R definida por f(x) = 3x+2.

Domínio--------------- f(x) = 3x+2 ---------------- Contradomínio
.....(-1) ------- f(-1) = 3*(-1)+2 = -3+2 = -1  --------> -1
.....(0) ------- f(0) = 3*0+2 = 0+2 = 2 -----------------> 2
.....(1) ------- f(1) = 3*1+2 = 3+2 = 5  ----------------> 5
.....(2) ------- f(2) = 3*2+2 = 6+2 = 8 -----------------> 8

Assim, resumindo, teremos que a função da sua questão [f(x) = 3x+2] é uma função:

BIJETORA <--- Esta é a resposta; Ou seja, a função f(x) = 3x+2 é uma função bijetora pelas razões enunciadas anteriormente.


É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.