Question

Usando o método de integração por partes: | u.dv=u.v-| v.du e lembrando que: (lnx)`=1/x determine i=| (lnx).x dx.

Answer 1

Olá


A integração por partes é dada por

$\displaystyle \boxed{\mathsf{\int udv=u\cdot v~- ~\int vdu}}$


Escolhendo 'u' e 'dv' Pela regra do LIATE

L = Logaritmo
I  = Inversas trigonométricas
A = Algébricas
T = Trigonométricas
E = Exponencial


$\displaystyle \mathsf{I=\int (\ell n x)\cdot xdx}\\\\\\\\ \mathsf{u=\ell n x\qquad\qquad\qquad\qquad dv=xdx}\\\\\mathsf{du= \frac{1}{x}\qquad\qquad\qquad\qquad v=\int dv= \frac{x^2}{2} }$


Substituindo na fórmula


$\displaystyle \mathsf{I= \frac{x^2}{2} \cdot \ell nx~-~\int \frac{x^{\diagup\!\!\!\!2}}{2}\cdot \frac{1}{\diagup\!\!\!\!x} dx }\\\\\\\mathsf{I= \frac{x^2}{2} \cdot \ell nx~-~\int \frac{x}{2} dx}\\\\\\\mathsf{I= \frac{x^2}{2} \cdot \ell nx~-~ \frac{1}{2} \int x dx}\\\\\\\boxed{\mathsf{I= \frac{x^2}{2} \cdot \ell nx~- \frac{x^2}{4}+C}}$