Question

Dúvida sobre integral
a) integral de e^2x/e^2x+2 dx
b) integral de x^2/x^3+2 dx

Answer 1

$\boxed {\int\limits { \frac{e^{2x}}{e^{2x}+2 } \, dx `}}$

vou dizer que 
$u=e^{2x}+2$

$du=e^{2x}*2 *.dx\\\\ \frac{du}{2e^{2x}}=dx$

du = derivada de u

mas como e^2x = u
então 
$\boxed{\frac{du}{2e^{2x}} =dx }$


então temos
$\int\limits { \frac{e^{2x}}{u} } * \frac{du}{2e^{x}} \\\\= \int\limits { \frac{1}{u} }* \frac{du}{2}\\\\\\= \frac{1}{2} \int\limits { \frac{1}{u} } \, dx$

1/2 foi pro lado d fora porque é uma constante

agora arrumando a função e integrando
$\frac{1}{2} \int\limits {u^{-1}} \, du = \frac{u^{-1+1}}{-1+1} =ln(u)$

ficou
$\frac{1}{2} \int\limits {u^{-1}} \, du= \frac{1}{2}*ln(u)= \frac{ln(u)}{2}= \frac{ln(e^{2x}+2)}{2} +K$

K = constante
...essa é a integral
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b) integral de x^2/x^3+2 dx
$\int\limits { \frac{x^2}{x^3+2} } \, dx$

$u=2x^3+2$

$du=3x^2.dx\\\\ \frac{du}{3x^2}=dx$

temos
$\int\limits { \frac{x^2}{u} } \, dx\\\\= \int\limits { \frac{x^2}{u} } \, \frac{du}{3x^2} \\\\= \int\limits { \frac{x^2 }{u} } \, \frac{du}{3} \\\\= \frac{1}{3} \int\limits { \frac{1}{u} } \, du \\\\= \frac{1}{3}*ln(u)\\\\\\\boxed{ \frac{ln(x^3+2)}{3} +K}$

isso acontece porque
i$\frac{1}{u}=u^{-1}$

e a integral de u^(-1) = ln (u)