Question

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^8+2}{x^4-5}$

Preciso não só da resposta. Porem como desensolve o calculo inteiro deste limite.

OBS X ---> TENDE a MENOS Infinito (-∞) não consigo colocar isso aqui

Answer 1

$\boxed{\boxed{ \lim_{x \to- \infty} \frac{x^8+2}{x^4+5} }}$

o polinomio com o maior grau está no numerador $x^8$
e o de menor grau está no denominador $x^4$

então temos que dividir tudo pelo termo de menor grau que é o  $x^4$

fazendo isso temos no numerador
$\frac{x^8+2}{x^4} = \frac{x^8}{x^4}+ \frac{2}{x^4}=\boxed{\boxed{ x^4+\frac{2}{x^4} } }$

este é o numerador
........................................................................................................................
agora fazendo a mesma coisa no denominador...dividindo por  $x^4$

$\frac{x^4-5}{x^4}= \frac{x^4}{x^4}- \frac{5}{x^4} =\boxed{\boxed{1- \frac{5}{x^4} }}$
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
a expressão fica
$\boxed{\boxed{ \lim_{x \to -\infty} \frac{x^4+ \frac{2}{x^8} }{1- \frac{5}{x^4} } }}$

agora para aplicar o limite...pense q esse infinito...é um numero muito muito grande.....sempre que vc divide o numerador por um numero maior... resultado será um numero menor certo? ...veja

1/1 = 1
1/10 = 0,1
1/100 = 0,01
1/1000 = 0,001
1/10000=0,001 

como vc pode ver...quando maior o numero que está no denominador
faz o resultando tender a 0
então podemos diz quer que $\frac{a}{\infty } =0$
porque infinito é um numero gigantesco....

então temos 
$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^4+ \frac{2}{x^8} }{1- \frac{5}{x^4} }= \frac{x^4+0}{1-0} = \frac{x^4}{1}=x^4$

todo numero elevado a expoente par...é positivo
exemplo
$(-1)^2 = (-1)*(-1) = +1\\\\\\(-1)^4=(-1)^2*(-1)^2=+1$

como - inifito ...é um numero muito grande..com sinal negativo...ele ficará positivo

resposta 
$\boxed{\boxed{ \lim_{x \to- \infty} \frac{x^8+2}{x^4+5}= \infty }}$
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
observando só o limite do numerador
quando x tende a - infinito...o resultado será + infinito..porque o expoente do x é par

no denominador..quando x tende a - infinito..o resultado tambem será + infinito
porque o x do denominador tem expoente par
o limite ficaria 
$\frac{\infty^8}{ \infty^4} =\infty$