Question

Calculo

Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas

y²=2x e x²=2y

Answer 1

Encontrar a área da região limitada pelas curvas:

     •   y² = 2x
     •   x² = 2y


Ao analisar as duas igualdades acima, vemos claramente que  x  e  y  não podem ser negativos nos pontos de interseção das curvas.


•   Achar os pontos de interseção das curvas.

Isole  y  na equação da segunda curva:

     $\mathsf{y=\dfrac{x^2}{2}}$


Agora, substitua na equação da primeira curva, e resolva a equação para  x:

     $\mathsf{y^2=2x}\\\\ \mathsf{\bigg(\dfrac{x^2}{2}\bigg)^{\!2}=2x}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(x^2)^2}{4}=2x}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x^4}{4}=2x}\\\\\\ \mathsf{x^4=4\cdot 2x}\\\\ \mathsf{x^4=8x}$

     $\mathsf{x^4-8x=0}\\\\ \mathsf{x\cdot (x^3-8)=0}\\\\ \begin{array}{rclcl} \mathsf{x=0}&\textsf{ ou }&\mathsf{x^3-8=0}\\\\ \mathsf{x=0}&\textsf{ ou }&\mathsf{x^3=8}\\\\ \mathsf{x=0}&\textsf{ ou }&\mathsf{x^3=2^3}\\\\ \mathsf{x=0}&\textsf{ ou }&\mathsf{x=2}&\longleftarrow &\textsf{limites de integra\c{c}\~ao}\\ &&&&\textsf{em x.} \end{array}$

=====

Expressando as equações das curvas com  y  em função de  x:

     •   $\mathsf{y=\sqrt{2x}=f(x)}$

     •   $\mathsf{y=\dfrac{x^2}{2}=g(x)}$


Temos que saber qual função é a maior no intervalo de integração  0 < x < 2. Para isso, podemos tomar um ponto no interior desse intervalo, por exemplo, x = 1:

     $\left\{ \begin{array}{l} \mathsf{f(1)=\sqrt{2\cdot 1}=\sqrt{2}}\\\\ \mathsf{g(1)=\dfrac{1^2}{2}=\dfrac{1}{2}} \end{array} \right.\\\\\\\\ \quad \mathsf{\sqrt{2}>\dfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad f(1)>g(1)}$


E como as duas curvas só se cruzam nos extremos do intervalo de integração, podemos afirmar que

     $\mathsf{f(x)\ge g(x)\qquad para~~0\le x\le 2.}$

=====

A área entre as curvas é dada por

     $\mathsf{A=\displaystyle\int_0^2\!\big[f(x)-g(x)\big]dx}\\\\\\ \mathsf{A=\displaystyle\int_0^2\!\bigg(\sqrt{2x}-\frac{x^2}{2}\bigg)dx}\\\\\\ \mathsf{A=\displaystyle\int_0^2\!\bigg(\sqrt{2}\cdot \sqrt{x}-\frac{x^2}{2}\bigg)dx}\\\\\\ \mathsf{A=\displaystyle\int_0^2\!\bigg(\sqrt{2}\cdot x^{1/2}-\frac{1}{2}\,x^2\bigg)dx}$

     $\mathsf{A=\bigg(\sqrt{2}\cdot \dfrac{x^{(1/2)+1}}{\frac{1}{2}+1}-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{x^{2+1}}{2+1}\bigg)\bigg|_0^2}\\\\\\ \mathsf{A=\bigg(\sqrt{2}\cdot \dfrac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}}-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{x^3}{3}\bigg)\bigg|_0^2}\\\\\\ \mathsf{A=\bigg(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\,x^{3/2}-\dfrac{1}{6}\,x^3\bigg)\bigg|_0^2}$

     $\mathsf{A=\bigg(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\cdot 2^{3/2}-\dfrac{1}{6}\cdot 2^3\bigg)-\bigg(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\cdot 0^{3/2}-\dfrac{1}{6}\cdot 0^3\bigg)}\\\\\\ \mathsf{A=\bigg(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \sqrt{2^3}-\dfrac{1}{6}\cdot 8\bigg)-0}\\\\\\ \mathsf{A=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\cdot 2\sqrt{2}-\dfrac{8}{6}}\\\\\\ \mathsf{A=\dfrac{2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}}{3}-\dfrac{4}{3}}\\\\\\ \mathsf{A=\dfrac{8}{3}-\dfrac{4}{3}}$

     $\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{A=\dfrac{4}{3}~u.a.} \end{array}}$    <———    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)