Question

Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.

x=1/2 , x=$\sqrt{y}$ e y=-x+2

Answer 1

Definir limites de integração:
Ela é delimitada superiormente e inferiormente pelas curvas
$y_2(x)=2-x$
e
$y_1(x)=x^2$
precisamos saber onde essas curvas se delimitam
$\displaystyle i)~~~~y_1(x)=y_2(x)\\\\ii)~~~2-x=x^2\\\\iii)~~x^2+x-2=0\\\\iv)~X=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2}=\begin{cases} x'=\frac{2}{2}=1\\ x''=\frac{-4}{2}=-2 \end{cases}$
logo a região que vamos integrar chamaremos de D e a definiremos da seguinte forma:
$\mathbb{D}=\left\{(x,y)|-2\leq x\leq 1,~x^2\leq y\leq 2-x\left\}$
Integramos a função constante $\rho(x,y,z)=1$ na região D e encontraremos a sua área
$\displaystyle i)~~~~A(\mathbb{D})=\iint\limits_{~~\mathbb{D}}\rho dA=\int\limits_{-2}^{1}\int\limits_{x^2}^{2-x}dydx\\\\ii)~~~\int\limits_{-2}^{1}\left[\frac{}{}y\right]_{x^2}^{2-x}dx=\int\limits_{-2}^{1}2-x-x^2dx=\left[2x-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3     \right]_{-2}^{1}\\\\iii)~~A(\mathbb{D})=\left(2-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)-\left(-4-\frac{1}{2}+\frac{8}{3}\right)\\~~~~~~~~~~~~~~=\left(2-\frac{5}{6}\right)-\left(-4+\frac{19}{6}\right)=\frac{7}{6}+\frac{11}{6}=\frac{18}{6}=\boxed{\frac{9}{3}u.c.^2}$

Note que o método de integração dupla é análogo ao método ensinado em cálculo 1:
$\boxed{A=\int\limits_{I}y_2(x)-y_1(x)dx=\int\limits_{I}\left[\int\limits_{y_1(x)}^{y_2(x)}dy\right]dx}$

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