Question

UNICAMP ⇒ Exponenciais e logaritmos

Considere a função f(x) = 10^(1+x) + 10^(1-x), definida para todo x ∈ R.

a) Prove que f(㏒ (2 + √3)) ∈ Z.

b) Sabendo que ㏒ (2) ≈ 0,3, encontre os valores de x para os quais f(x) = 52.

(Lembre-se : 52 = 50 + 2)

Answer 1

$Propriedades \ adotadas \ : \\ \\ \boxed{\ \ log_1_0 \ k \ = \ log \ k } \\ \\ \\ \boxed{(1) \ : \ log \ 10 \ = \ 1 } \\ \\ \\ \boxed{ (2) \ : \ \ log \ (a.b) \ = \ log \ a \ + \ log \ b} \\ \\ \\ \boxed{ (3) \ : \ \ log \ \Big( \frac{a}{b} \Big) \ = \ log \ a \ - \ log \ b } \\ \\ \\ \boxed{ (4) \ : 10^{log \ a } \ = \ a }$

$\boxed{(5) \ : \ log \ a^b \ = \ b \ . \ log \ a }$

$------------------------------ \\ \\ a) \\ \\ f(x) \ = \ 10^{1+x} \ + \ 10^{1-x} \\ \\ f(log(2+ \sqrt{3})) \ = \ 10^{ 1 \ + \ log(2+\sqrt{3})} \ + \ 10^{1 \ - \ log(2+\sqrt{3})} \\ \\ Adotando \ a \ propriedade \ (1) \ , \\\\ f(log(2+ \sqrt{3})) \ = \ 10^{log10 \ + \ log(2+\sqrt{3})} \ + \ 10^{log10 \ - \ log(2+\sqrt{3})} \\ \\ Aplicando \ as \ propriedades \ (2) \ e \ (3) \ , \\ \\ f(log(2+ \sqrt{3})) \ = \ 10^{log(2+\sqrt{3}).10} \ + \ 10^{log (\frac{10}{2+\sqrt{3}})}$

$Racionalizando \ a \ fra\c{c}\tilde{a}o \ do \ segundo \ expoente \ , \\ \\ f(log(2+ \sqrt{3})) \ = \ 10^{log(2+\sqrt{3}).10} \ + \ 10^{log10.(2-\sqrt{3})} \\ \\ Aplicando \ a \ propriedade \ (4) \ , \\ \\ f(log(2+ \sqrt{3})) \ = \ 10.( \ 2 \ + \ \sqrt{3} \ ) \ + \ ( \ 2 \ - \ \sqrt{3} \ ) \\ \\ f(log(2+ \sqrt{3})) \ = 40 \\ \\ Com \ isso \ fica \ de finido \ que \ f(log(2+ \sqrt{3})) \ \in \ \mathbb{Z}$

$b)\\ \\ f(x) \ = \ 10^{1+x} \ + \ 10^{1-x} \\\\ f(x) \ = \Big( \ 10^1 \ . \ 10^x \Big) \ + \ \Big( \ 10^1 \ . \ \frac{1}{10^x} \ \Big) \\\\ f(x) \ = \ 10 \ . \ \Big( \ 10^x \ + \ \frac{1}{10^x} \ \Big ) \\ \\ Pelo \ fato \ de \ querermos \ f(x) \ = \ 52 \ , \ ent\tilde{a}o \ : \\\\ 52 \ = \ 10 \ . \ \Big( \ 10^x \ + \ \frac{1}{10^x} \ \Big ) \\\\ Utilizando \ a \ mudan\c{c}a \ de \ vari\acute{a}vel \ , \\\\ \boxed{\ 10^x \ = \ y \ \ \ \ \ \ (i)} \\\\ \\ 52 \ = \ 10 \ . \ \Big(y + \frac{1}{y} \ \Big)$

$52y \ = \ 10y^2 \ + \ 10 \\\\ 10y^2 \ - \ 52y \ + \ 10 \ = \ 0 \\\\ \Delta \ = \ b^2 \ - \ 4.a.c \\\\ \Delta \ = 2304 \\\\ y \ = \ \frac{-b \ ^+_- \ \sqrt{\Delta}}{2.a} \\\\ y' \ = \ 5 \\\\ y'' \ = \ \frac{1}{5}$

$Recorrendo\ a\ express\tilde{a}o \ (i) \ , \\\\ 10^x^{'} \ = \ y' \\ \\ 10^x^{'} \ = \ 5 \\\\ log \ 10^x^{'}\ = \ log\ 5 \\\\ Aplicando\ a\ propriedade\ (5) \\\\ x' \ . \ log \ 10 \ = \ log \ ( \frac{10}{2}) \\\\ Utilizando \ a \ propriedade\ (3) \ ,\\\\ x' \ .\ log\ 10 \ = \ log \ 10 \ - \ log \ 2 \\ \\ Utilizando \ a \ propriedade \ (1) \ e \ sabendo \ que \ log \ 2 \ = \ 0,3 \ , \\\\ x' \ . \ (1) \ = \ 1 \ - 0,3 \\\\ x' \ = \ 0,7$

$Recorrendo\ novamente\ a\ express\tilde{a}o\ (i) \\\\ 10^x^{''} \ = \ y^{''} \\\\ 10^{x''}\ =\ \frac{1}{5} \\\\ log\ 10^{x''} \ = \ log\ \frac{1}{5} \\\\ Aplicando \ a \ propriedade \ (5) \ , \\\\ x'' \ . \ log \ 10\ =\ log \ \frac{1}{5} \\\\ Adotando \ a \ propriedade \ ( 3 ) \ , \\\\ x'' \ . \ log \ 10 \ = \ log \ 1 \ - \ log \ 5 \\\\ x'' \ . \ log \ 10 \ = \ log \ 1 \ - \ log \ \frac{10}{2} \\\\ Recorrendo \ a \ (3) \ novamente \ , \\\\ x'' \ . \ log \ 10 \ = \ log \ 1 \ - \ log \ 10 \ + \ log \ 2$

$Adotando \ ( 1 ) \ e \ sabendo \ que \ log \ 2 \ = \ 0,3 \ , \\\\ x'' \ . \ (1) \ = \ 0 \ - \ 1 \ + \ 0,3 \\\\ x'' \ = \ -0,7 \\\\ Assim \ os \ valores \ de \ x \ para \ que \ f(x) \ = \ 52 \ s\tilde{a}o \ x' \ = \ 0,7 \ e \\ x'' \ = \ - \ 0,7$

Answer 2

É verdade que f(log(2 + √3)) é um número inteiro. O valor de f(x) = 52 é -0,7 ou 0,7.

a) Primeiramente, vamos reescrever a função f da seguinte forma:

$f(x) = 10^{1+x}+10^{1-x}$

f(x) = 10.10ˣ + 10.10⁻ˣ.

Agora, vamos calcular o valor de f(log(2 + √3)):

$f(log(2+\sqrt{3}))=10.10^{log(2+\sqrt{3})}+10.10^{-(log(2+\sqrt{3}))}$.

Veja que os logaritmos que estão nos expoentes possuem a mesma base do número nos quais eles estão elevados.

Isso quer dizer que:

f(log(2 + √3)) = 10.(2 + √3) + 10.(2 + √3)⁻¹

f(log(2 + √3)) = 10(2 + √3) + 10.1/(2 + √3)

f(log(2 + √3)) = 10(2 + √3 + 1/(2 + √3))

f(log(2 + √3)) = 10(2 + √3 + 2 - √3)

f(log(2 + √3)) = 20 + 10√3 + 20 - 10√3

f(log(2 + √3)) = 40.

Como 40 é um número inteiro, então mostramos que f(log(2 + √3)) ∈ Z.

b) Agora, vamos calcular o valor de f(x) = 52. Para isso, basta igualar a função f a 52:

10.10ˣ + 10.10⁻ˣ = 52

10.10ˣ.10ˣ + 10.10⁻ˣ.10ˣ = 52.10ˣ

10.(10ˣ)² + 10 - 52.10ˣ = 0.

Vamos fazer a substituição 10ˣ = y. Então:

10y² - 52y + 10 = 0

5y² - 26y + 5 = 0.

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la utilizando a fórmula de Bhaskara:

Δ = (-26)² - 4.5.5

Δ = 676 - 100

Δ = 576

$y=\frac{26+-\sqrt{576}}{2.5}$

$y=\frac{26+-24}{10}$

$y'=\frac{26+24}{10}=5$

$y''=\frac{26-24}{10}=\frac{1}{5}$.

Se y = 5, então:

10ˣ = 5

log(10ˣ) = log(5)

x = log(10/2)

x = log(10) - log(2)

x = 1 - 0,3

x = 0,7.

Se y = 1/5, então:

10ˣ = 1/5

log(10ˣ) = log(1/5)

x = log(1) - log(5)

x = -log(10/2)

x = -0,7.

Para mais informações sobre logaritmo: https://brainly.com.br/tarefa/19432959