Question

Um polígono regular de n lados é tal que o número de diagonais é o quádruplo do número de lados. Quantos lados (n) tem esse polígono?

Answer 1

O número de diagonais de um polígono é dado pela seguinte fórmula:

$\displaystyle d = \frac{l (l-3)}{2}$

Que de acordo com o enunciado, vale 4ℓ, logo:

$\displaystyle \frac{l (l-3)}{2} = 4l$

$\displaystyle l (l-3) = 4l \cdot 2$

$\displaystyle l^2 - 3l - 8l = 0$

$l^2 - 11l = 0$

A sentença acima pode ser fatorada se colocarmos ℓ em evidência:

$l (l - 11) = 0$

Existem duas opções para as raízes dessa equação: ou ℓ = 0, o que é incorreto já que o lado de um polígono não pode ser nulo, ou ℓ - 11 = 0 ⇒ ℓ = 11. Portanto, trata-se de um polígono de 11 lados.

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Answer 2

Para saber o número de diagonais é só fazer:
N×(n-3) /2
Então se o número de diagonais é igual ao quádruplo de lados, fica assim: 4n
N× (N -3)/2 = 4n
O 2, passa para o outro lado multiplicando:
N×(n-3)= 4n ×2
N×(n-3)= 8n
O n, está multiplicando, então passa para o outro lado dividindo:
(N-3)= 8n/N
N-3= 8
N= 8 +3
N= 11
Então esse polígono tem onze lados, assim ele é undecagono.

Acho que é assim, espero ter ajudado.