Question

Se f(x)= 5x ao quadrado + ax + b, com a # b, f(a)= b e f(b)= a, qual é o valor de a+b??? OBMEP

Answer 1

Temos a seguinte função:

f(x) = 5x² + ax + b

Com o valor de "f(a) = b" podemos determinar o valor de "a":

f(x) = 5x² + ax + b
f(a) = 5a² + a*a + b
b = 5a² + a² + b
b - b = 6a²
0 = 6a²
0 = a²
0 = a

Vamos substituir o valor de "a = 0" na função "f(x)":

f(x) = 5x² + ax + b
f(x) = 5x² + 0*x + b
f(x) = 5x² + b

Portanto, a função fica "f(x) = 5x² + b". Vamos utilizar o valor de "f(b) = a" para determinar o valor de "b".

f(x) = 5x² + b
f(b) = 5b² + b
a = 5b² + b

Como "a = 0", temos que:

a = 5b² + b
0 = 5b² + b
5b² + b = 0
b * (5b + 1) = 0

b' = 0

e

5b'' + 1 = 0
5b'' = -1
b'' = -1/5

Como "a ≠ b" e "a = 0", então "b" não pode ser igual a zero. Assim, temos que "b = -1/5"
A soma "a + b" será

a + b =
0 + (-1/5) =
-1/5