Question

Os elementos do espaço vetorial V são chamados de vetores, independentemente de sua natureza, por meio das operações de adição entre vetores e multiplicação de vetor por escalar, obedecendo as propriedades a seguir.

Propriedades:

( u + v) + w = u + ( v + w)
u + v = v + u
Existe 0 Є V tal que u + 0 = u. (0 é chamado vetor nulo.)
Existe u Є V tal que u + ( -u) = 0.
a( u + v) = au + av
(a + b)v = av + bv
(ab)v = a(bv)
1u = u
Lembrando que para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, e ao multiplicar um número escalar por um vetor fazemos a distributividade.

A partir dessas informações verifique os oito axiomas(propriedades) citados e conclua se o espaço V= IR^3 = {(x, y, 0)/ x, y e z Є IR} vetorial ou não vetorial..

Observação:

Os vetores serão criados pelo aluno dentro da informação citada. E a questão deverá apresentar a resolução para comprovar a veracidade das propriedades.

-QUESTÃO ORIGINAL EM ANEXO:

Answer 1

Considere o seguinte subconjunto do  $\mathbb{R}^3:$

     $V=\left\{(x,\,y,\,z):~~x,\,y\in \mathbb{R}~~e~~z=0\right\}$


Observe que todos os elementos de  V  têm a terceira coordenada nula.

=====

Sejam  $\mathbf{u,\,v,\,w}$  elementos de  V,  onde

     •  $\mathbf{u}=(x_1,\,y_1,\,0)$

     •  $\mathbf{v}=(x_2,\,y_2,\,0)$

     •  $\mathbf{w}=(x_3,\,y_3,\,0)$


e   $a,\,b\in \mathbb{R}$  escalares.


Vamos verificar cada um dos oito axiomas para os elementos de  V


1.   $\mathbf{(u+v)+w}$

$=\big((x_1,\,y_1,\,0)+(x_2,\,y_2,\,0)\big)+(x_3,\,y_3,\,0)\\\\ =(x_1+x_2,\,y_1+y_2,\,0+0)+(x_3,\,y_3,\,0)\\\\ =\big((x_1+x_2)+x_3,\,(y_1+y_2)+y_3,\,(0+0)+0\big)$

e como a adição é associativa em  $\mathbb{R},$ a expressão acima fica

$=\big(x_1+(x_2+x_3),\,y_1+(y_2+y_3),\,0+(0+0)\big)\\\\ =(x_1,\,y_1,\,0)+\big(x_2+x_3,\,y_2+y_3,\,0+0\big)\\\\ =(x_1,\,y_1,\,0)+\big((x_2,\,y_2,\,0)+(x_3,\,y_3,\,0)\big)\\\\ =\mathbf{u+(v+w)}\qquad\quad\checkmark$


2.   $\mathbf{u+v}$

$=(x_1,\,y_1,\,0)+(x_2,\,y_2,\,0)\\\\ =(x_1+x_2,\,y_1+y_2,\,0+0)$

e como a adição é comutativa em $\mathbb{R},$ a expressão acima fica

$=(x_2+x_1,\,y_2+y_1,\,0+0)\\\\ =(x_2,\,y_2,\,0)+(x_1,\,y_1,\,0)\\\\ =\mathbf{v+u}\qquad\quad\checkmark$


3.   $\mathbf{0}=(0,\,0,\,0)\in V,$  pois tem a 3ª coordenada nula. Aqui, verifica-se que

$u+\mathbf{0}\\\\ =(x_1,\,y_1,\,0)+(0,\,0,\,0)\\\\ =(x_1+0,\,y_1+0,\,0+0)\\\\ =(x_1,\,y_1,\,0)\\\\ =u\qquad\quad\checkmark$

pois o número zero é o elemento neutro da adição em $\mathbb{R}.$


4.  Verificamos de imediato que  $\mathbf{-u}=(-x_1,\,-y_1,\,0)\in V,$

e também

$\mathbf{u+(-u)}\\\\ =(x_1,\,y_1,\,0)+(-x_1,\,-y_1,\,0)\\\\ =\big(x_1+(-x_1),\,y_1+(-y_1),\,0+0)\\\\ =(0,\,0,\,0)\\\\ =\mathbf{0}\qquad\quad\checkmark$

pois cada coordenada somada com o seu oposto aditivo resulta em zero.


5.   $a\mathbf{(u+v)}$

$=a\big((x_1,\,y_1,\,0)+(x_2,\,y_2,\,0)\big)\\\\ =a(x_1+x_2,\,y_1+y_2,\,0+0)\\\\ =\big(a(x_1+x_2),\,a(y_1+y_2),\,a(0+0)\big)\\\\ =(ax_1+ax_2,\,ay_1+ay_2,\,a\cdot 0+a\cdot 0\big)\\\\ =(ax_1,\,ay_1,\,a\cdot 0)+(ax_2,\,ay_2,\,a\cdot 0)\\\\ =a(x_1,\,y_1,\,0)+a(x_2,\,y_2,\,0)\\\\ =a\mathbf{u}+a\mathbf{v}\qquad\quad\checkmark$

onde ao operar o escalar  $a$ com cada uma das coordenadas, usamos a distributividade da multiplicação (à direita) em relação à adição em $\mathbb{R}.$


6.   $(a+b)\mathbf{v}$

$=(a+b)(x_2,\,y_2,\,0)\\\\ =\big((a+b)x_2,\,(a+b)y_2,\,(a+b)\cdot 0\big)\\\\ =\big(ax_2+bx_2,\,ay_2+by_2,\,a\cdot 0+b\cdot 0\big)\\\\ =(ax_2,\,ay_2,\,a\cdot 0)+(bx_2,\,by_2,\,b\cdot 0)\\\\ =a(x_2,\,y_2,\,0)+b(x_2,\,y_2,\,0)\\\\ =a\mathbf{v}+b\mathbf{v}\qquad\quad\checkmark$

onde ao operar os escalares  $a,\,b$ com cada uma das coordenadas do vetor, usamos a distributividade da multiplicação (à esquerda) em relação à adição em $\mathbb{R}.$


7.   $(ab)\mathbf{v}$

$(ab)(x_2,\,y_2,\,0)\\\\ =\big((ab)x_2,\,(ab)y_2,\,(ab)\cdot 0\big)$

e como a multiplicação é associativa em  $\mathbb{R},$  a expressão acima fica

$=\big(a(bx_2),\,a(by_2),\,a(b\cdot 0)\big)\\\\ =a(bx_2,\,by_2,\,b\cdot 0)\\\\ =a\big(b(x_2,\,y_2,\,0)\big)\\\\ =a(b\mathbf{v})\qquad\quad\checkmark$


8.   $1\mathbf{u}$

$=1(x_1,\,y_1,\,0)\\\\ =(1x_1,\,1y_1,\,1\cdot 0)\\\\ =(x_1,\,y_1,\,0)\\\\ =\mathbf{u}\qquad\quad\checkmark$

pois  1  é o elemento neutro na multiplicação em $\mathbb{R}.$


Assim, concluímos que  V  é um espaço vetorial, pois todos os elementos de  V satisfazem as oito propriedades acima.


Bons estudos! :-)