Question

Seja p um primo.
 Mostre que

( p ) ≡ 0 (mod p)

( n )


Para todo n inteiro, 1 ≤ n < p.

Answer 1

$\dbinom{p}{n}=\dfrac{p!}{n!\cdot(p-n)!}$

Queremos mostrar que $p~|~\dfrac{p!}{n!\cdot(p-n)!}$.

Como $p$ é primo, temos que, $n\nmid~p$.

Mas, como $p>n$, o número $\dfrac{p!}{n!\cdot(p-n)!}$ é múltiplo de $p$. 

Com isso, $\dbinom{p}{n}\equiv0\pmod{p}$.