Question

Prove por indução sobre
n que

 (x + y) elevado a n =
x elevado a n + ( n )x (elevado a n – 1 )y +...+ ( n )x(elevado a n – i) y

                                                                
( 1 )                        
         (
i )

elevado a i +...+ y elevado a n           


para todos x, y E R e n  E N

OBS: o 1 fifa dentrp do parênteses embaixo do n e i emmaixo do outro n)

Answer 1

Queremos mostrar que:

$(x+y)^{n}=\dbinom{n}{0}x^{n}+\dbinom{n}{1}x^{n-1}y+\dots+\dbinom{n}{n-1}xy^{n-1}+\dbinom{n}{n}y^{n}$.

A base é $n=1$ e $n=2$. Temos:

$(x+y)^{1}=\dbinom{1}{0}x^{1}+\dbinom{1}{1}y^{1}=x+y$

$(x+y)^2=\dbinom{2}{0}x^2+\dbinom{2}{1}xy+\dbinom{2}{2}y^2=x^2+2xy+y^2$

A base está correta.

Vamos provar o passo indutivo. 

Pela hipótese, $(x+y)^{n}=\dbinom{n}{0}x^{n}+\dbinom{n}{1}x^{n-1}y+\dots+\dbinom{n}{n-1}xy^{n-1}+\dbinom{n}{n}y^{n}$.

Fazemos $n=k$ e vamos mostrar que esta propriedade é válida para $k+1$.

Ou seja, que a igualdade

$(x+y)^{k+1}=\dbinom{k+1}{0}x^{k+1}+\dbinom{k+1}{1}x^{k}y+\dots+\dbinom{k+1}{k}xy^{k}+\dbinom{k+1}{k+1}y^{k+1}$
é verdadeira.

Já sabemos que a igualdade $(x+y)^{k}=\dbinom{k}{0}x^{k}+\dbinom{k}{1}x^{k-1}y+\dots+\dbinom{k}{k-1}xy^{k-1}+\dbinom{k}{k}y^{k}$ é verdadeira.

Vamos multiplicar os dois membros dessa igualdade por $x+y$:

$(x+y)(x+y)^{k}=\left[\dbinom{k}{0}x^{k}+\dbinom{k}{1}x^{k-1}y+\dots+\dbinom{k}{k-1}xy^{k-1}+\dbinom{k}{k}y^{k}\right](x+y)$

Fazendo isso, obtemos o resultado desejado, isto é,

$(x+y)^{k+1}=\dbinom{k+1}{0}x^{k+1}+\dbinom{k+1}{1}x^{k}y+\dots+\dbinom{k+1}{k}xy^{k}+\dbinom{k+1}{k+1}y^{k+1}$