Question

Quando vc solta um objeto de uma certa altura ele precisa de um tempo T até atingir o solo, sem resistência do ar . Se vc o soltasse de uma altura três vezes maior, quanto tempo seria necessário para ele atingir o solo?

Answer 1

Uai, de um tempo 3 vezes maior também.

Answer 2

Resposta:

O objeto demora 1,7 vezes mais para cair do prédio 3 vezes maior.

Explicação:

Usaremos a equação da posição em função do tempo:

H = Ho + Vo.t + $\frac{g.t^{2} }{2}$ ;

H = Altura

Ho = Altura inicial

Vo= velocidade inicial

g = aceleração da gravidade

t = tempo

Sabemos que a altura inicial (Ho) e a velocidade inicial (Vo) é 0 pois o objeto sai do repouso, logo, nossa equação vai ficar assim:

H = 0 + 0.t + $\frac{g.t^{2} }{2}$

H = $\frac{g.t^{2} }{2}$

Iremos agora deixar o tempo (t) em evidencia:

$t^{2}$ = $\frac{2H}{g}$

$t = \sqrt{\frac{2H}{g} }$ , esse é o tempo em que o objeto demora para descer o prédio de altura H, chamaremos ele de t1

Vamos descobrir o tempo em que o objeto demora para cair de um prédio 3 vezes maior (3H).

3H = $\frac{g.t^{2} }{2}$

Colocando o tempo em evidencia:

$t^{2}$ =  $\frac{6H}{g}$

$t = \sqrt{\frac{6H}{g} }$, esse é o tempo em que o objeto demora para descer o prédio de altura 3H, chamaremos ele de t2.

Para saber quanto o t2 é maior que o t1 devemos dividi-los $\frac{t2}{t1}$:

$\frac{\sqrt{\frac{6H}{g} }}{\sqrt{\frac{2H}{g} }}$

A razão entre as raízes é igual a raiz das razões, então:

$\sqrt{\frac{{\frac{6H}{g} }}{{\frac{2H}{g} }} }$

$\sqrt{\frac{6Hg}{2Hg} }$

H.g/H.g = 1 , reescrevendo a equação teremos:

$\sqrt{\frac{6}{2} }$

$\sqrt{3}$ = 1,7, ou seja , o tempo 2 é aproximadamente 1,7 vezes maior que o tempo 1.

Para provar isso é só pegar a fórmula H = $\frac{g.t^{2} }{2}$ e resolve-la usando uma altura inicial depois fazer usando uma altura 3 vezes maior que a inicial.

Por exemplo:

H = 2 m

g = 10 m/s

2 = $\frac{10.t^{2} }{2}$  ;  4 = $10.t^{2}$  ;  $t^{2}= 0,4$  ; $t = \sqrt{0,4}$  = 0,63 s - tempo 1

Com a altura 3 vezes maior (6m):

6 = $\frac{10.t^{2} }{2}$  ;  12 =  $10.t^{2}$  ;  $t^{2}= 1,2$ ; $t = \sqrt{1,2}$  =  1,1 s - tempo 2

dividindo o tempo 2 (1,1 s) pelo tempo 1 (0,63 s)

$\frac{1,1}{0,63} = 1,7$

O que comprova nossa resposta anterior.

Espero que tenha ajudado!!