Question

lim 7x^5 -6/ 4x^2 -2x +4 quando x tende a mais infinito (Usando a regra de L'Hospital).

Answer 1

Poderíamos muito bem afirmar que o limite tende ao infinito, já que o polinômio do numerador tem um grau maior do que o do denominador, porém foi pedido para usar a regra de L'Hôpital.

Percebemos que ambos o numerador e o denominador tendem ao infinito, portanto, podemos aplicar a regra de L'Hôpital, que diz: "Um limite no qual o numerador e o denominador tendem ao infinito ou a zero, é equivalente ao limite da derivada do numerador anterior dividido pela derivada do denominador anterior."

$\lim_{x \to \infty} \frac{7x^5-6}{4x^2-2x+4}$
$\lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{d}{dx} (7x^5-6)}{ \frac{d}{dx}( 4x^2-2x+4)}$
$\lim_{x \to \infty} \frac{35x^4}{8x - 2}$

Mesmo assim, ambos numerador e denominador ainda tendem ao infinito, portanto, teremos que aplicar a regra de L'Hôpital novamente.

$\lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{d}{dx} (35x^4)}{ \frac{d}{dx}( 8x - 2)}$
$\lim_{x \to \infty} \frac{140x^3}{8} = \lim_{x \to \infty} \frac{35x^3}{2}$

E finalmente, isso vai ser:
$\frac{35}{2} \lim_{x \to \infty} x^3$

O limite de quando x tende ao infinito de x ao cubo é obviamente infinito. A fração anterior é irrelevante e não modifica o valor final. Portanto, o valor do limite é:

$\lim_{x \to \infty} \frac{7x^5-6}{4x^2-2x+4} = \infty$
Espero ter ajudado.