Question

Encontre a distância entre o ponto P e a reta r, sendo:?
a) P(-1,-3) e r: 3x-y+5=0
b) P(0,2) e r: 4x-3y-11=0
c) P(-2,5) e r: 5x+2y+29=0
d) P(1,-1) e r: 3x+4y+11=0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dinizyasmin, que a resolução é simples.
Pede-se para encontrar a distância (d) entre o ponto P e a reta "r" nas seguintes situações:

a) P(-1; -3) e "r": 3x - y + 5 = 0
b) P(0; 2) e "r": 4x - 3y - 11 = 0
c) P(-2; 5) e "r": 5x + 2y + 29 = 0
d) P(1; -1) e "r": 3x + 4y + 11 = 0

Antes de iniciar, veja que se você tiver um ponto P(x₀; y₀) e uma reta "r" de equação: Ax + By + C = 0 , a distância (d) desse ponto P à reta "r" será dada com a utilização da seguinte fórmula:

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A²+B²) ---- note que o numerador é o módulo dos coeficientes da equação "r" multiplicados pelas coordenadas "x" e "y" do ponto P.

Portanto, tendo a relação acima como parâmetro, então cada distância (d) do ponto P à reta "r" nas várias situações propostas na sua questão será obtida da seguinte forma:

a) Distância (d) do ponto P(-1; -3) à reta "r": 3x-y+5 = 0.
Note que temos os seguintes dados para substituir na fórmula: x₀ = -1; y₀ = 3; A = 3; B = -1; e C = 5. Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula, teremos

d = |3*(-1) + (-1)*(-3) + 5| / √[(3)²+(-1)²] ---- desenvolvendo, teremos;
d = |-3 + 3 + 5| / √[9 + 1]
d = |0 + 5| / √(10)
d = |5| / √(10) ------ veja que |5| = 5. Assim:
d = 5 / √(10) ---- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por "√(10)", ficando assim:

d = 5*√(10) / √(10)*√(10)
d = 5√(10) / √(10*10)
d = 5√(10) / √(100) ----- como √(100) = 10, teremos:
d = 5√(10) / 10 --- simplificando-se numerador e denominador por "5", iremos ficar apenas com:
d = √(10) / 2 u.m. <--- Esta é a resposta do item "a". (Obs: u.m. = unidades de medida.

b) Distância (d) do ponto P(0; 2) à reta "r": 4x-3y-11 = 0.
Note que as coordenadas do ponto P são x₀ = 0 e y₀ = 2. E os coeficientes da reta "r" são: A = 4; B = -3; e C = -11.
Assim, teremos:

d = |4*0 + (-3)*2 + (-11)| / √[4²+(-3)²]
d = |0 - 6 - 11| / √[16 + 9]
d = |-6 - 11| / √(25)
d = |-17|/√(25) ---- note que |-17|= 17 e √(25) = 5. Assim, teremos:
d = 17/5 u.m. <--- Esta é a resposta para o item "b".

c) Distância (d) do ponto P(-2; 5) à reta "r": 5x+2y+29 = 0.
Note que as coordenadas do ponto P são x₀ = -2 e y₀ = 5. E os coeficientes da reta "r" são: A = 5; B = 2; e C = 29.
Assim, teremos:

d = |5*(-2)+2*5+29| / √[5²+2²]
d = |-10+10+29| / √[25+4]
d = |0 + 29| / √(29)
d = |29| / √(29) ----- como |29| = 29, teremos:
d = 29/√(29) ---- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por √(29). Assim:

d = 29*√(29) / √(29)*√(29)
d = 29√(29) / √(29*29)
d = 29√(29) / √(29²) ---- como no denominador, o "29" está ao quadrado, então ele sai de dentro da raiz quadrada, ficando assim:

d = 29√(29) / 29 ---- simplificando-se "29" do numerador com "29" do denominador, iremos ficar apenas com:

d = √(29) u.m. <--- Esta é a resposta do item "c".

d) Distância (d) do ponto P(1; -1) à reta "r": 3x+4y+11 = 0.
Note que as coordenadas do ponto P são x₀ = 1 e y₀ = -1. E os coeficientes da reta "r" são: A = 3; B = 4; e C = 11.
Assim, teremos:

d = |3*1+4*(-1)+11| / √[3²+4²]
d = |3 - 4 + 11| / √(9+16)
d = |-1 + 11| / √(25)
d = |10| / √(25) ----- como |10| = 10 e √(25) = 5, teremos;
d = 10 / 5
d = 2 u.m. <--- Esta é a resposta do item "d".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Olá de novo, Dinizyasmin! Hehe

Para resolvermos essa questão, precisamos lembrar da fórmula da distância de um ponto a uma reta, que é a seguinte:

Ponto P(x,y) e reta ax + by +c = 0:
d = la·x + b·y + cl ÷ √a² + b²

Aplicamos esta fórmula em cada item e descobrimos a distância:

a) P(-1,-3) e r: 3x - y + 5
d = l3·(-1) - 1·(-3) + 5l ÷ √3² + (-1)²
d = l-3 + 3 + 5l ÷ √9 + 1
d = 5/√10. Racionalizando, temos:
d = 5√10/10 = √10/2

b) P(0,2) e r: 4x-3y-11 = 0
d = l4·0 - 3·2 - 11l ÷ √4² + (-3)²
d = l-17l/√16 + 9
d = 17/√25 ⇒ d = 17/5

c) P(-2,5) e r: 5x+2y+29 = 0
d = l5·(-2) + 2·(5) + 29l ÷ √5² + 2²
d = l-10 + 10 + 29l ÷ √29
d = 29/√29. Racionalizando, temos:
d = 29√29/29 ⇒ d = √29

d) P(1,-1) e r: 3x+4y+11 = 0
d = l3·1 + 4·(-1) + 11l ÷ √3² + 4²
d = l3 - 4 + 11l ÷ √9 + 16
d = l-1 + 11l ÷ √25
d = l10l ÷ 5
d = 10/5
d = 2

Espero ter sido útil mais uma vez!! :D

Fique à vontade para perguntar caso não tenha entendido alguma coisa!