Question

2) Calcule ∫c (x⁴ - y³ ) dx + (x³ + y⁵) dy, onde C é o círculo de raio 1 e centro na origem. Use o teorema de Green

x² + y² = 1
x² + y² = r²
da = r dr dΘ

0 ≤ Θ ≤ 2π
0 ≤ r ≤ 1

Veja anexo:

Answer 1

De maneira análoga a questão anterior,, COMO TEMOS apenas a componente "x" e "y" do campo:

$Rot(F) = (\frac{dF_{y} }{dx} - \frac{dF_{x} }{dy} )k$

$\\ \begin{document} \\ \begin{enumerate} \\ \item Dessa maneira: \\ \\ \frac{dF_{y} }{dx} = 3x \\ \\ \frac{dF_{x} }{dy} = -3y \\ \\ \item Substituindo, fica: Rot(F) = (3x - (-3y))k = 3(x+y)k \\ \end{enumerate} \\ \end{doc ument}$

Com isso, teremos a integral:

$\\ = \int\limits^{2 \pi }_0 \int\limits^1_0 {3(x+y).rdrd \beta } \\ \\ \begin{enumerate} \\ \\ \item \\ Onde : \\ \\ x = rcos( \beta ) \\ \\ y = rsen( \beta ) \\ \\ \therefore \\ \\ = \int\limits^{2 \pi }_0 \int\limits^1_0 {3(rcos \beta +rsen \beta ).rdrd \beta } \\ \\ =3 \int\limits^{2 \pi }_0 \int\limits^1_0 {(cos \beta +sen \beta ).r^2drd \beta } \\ \\ = 3\int\limits^{2 \pi }_0 (cos \beta +sen \beta ) \cdot \frac{r^3}{3} |(0,1)d \beta$


$\\ = \int\limits^{2 \pi }_0 (cos \beta +sen \beta ) d \beta \\ \\ = (sen \beta -cos \beta )|(0,2 \pi ) \\ \\ = (0 - 1)- (0 - 1) \\ \\ = -1 +1 \\ \\ = 0$