Question

4) Seja F(x,y) = -x²y i + xy² j e do disco de centro (0,0) e raio 1. Calcule pelo teorema de Green, sendo F orientada no sentido anti-horário.

da = r dθ dr
0≤ r ≤ 1
0≤ θ ≤ 2π

x² + y² = r²

Veja anexo:

Answer 1

$\\ \begin{enumerate} \\ Como o campo possui apenas componente "X" e "Y" \\ \\ Rot(F) = (dFy/dx - dFx/dy) \\ \\ Calculando as derivadas: \\ \\ dy/dx = y^2 \\ \\ dx/dy = -x^2 \\ \\ \therefore \\ \\ Rot(F) = y^2 - ( - x^2 ) = x^2+y^2 \\ \end{enumerate}$

Calculando a integral da região do rotacional:

[tex] \\ \begin{enumerate} \\ \\ = \displaystyle\int\limits^{2 \pi }_0 \displaystyle\int\limits^{1 }_0 (x^2+y^2) \cdot rdrd \beta \\ \\ Mas, \, x = rcos \beta \, \, e \, y = rsen \beta \\ \\ = \displaystyle\int\limits^{2 \pi }_0 \displaystyle\int\limits^{1 }_0 (r^2) \cdot rdrd \beta \\ \\ = \displaystyle\int\limits^{2 \pi }_0 \displaystyle\int\limits^{1 }_0 (r^3) \cdot drd \beta Essa integral dará como resultado de: π/2