Question

A raiz de um número primo sempre será um número irracional? E a raiz de um número normal? Porque?

Answer 1

Vamos supor que a raiz quadrada de um primo p é um número racional e pode ser escrita como uma fração com numerador a e denominador b, ambos primos entre si; ou seja, a fração é irredutível. Como segue:
Elevamos os dois membros ao quadrado.
Multiplicamos os dois membros da equação por b² e obtemos:
pb² = a²
Da última equação, vemos que a² é múltiplo de p, logo a também é múltiplo de p.
Assim, existe um r, pertencente aos naturais, tal que o produto pr é igual a a. Substituindo a por pr na equação, temos:
pb² = p²r²
Dividindo os membros da equação por p, temos:
b² = pr²
Dessa equação temos também que b² é múltiplo de p e isso implica b múltiplo de p.
Chegamos a um absurdo, pois a suposição inicial é que a e b são primos entre si.
Portanto, a raiz quadrada de um primo p, é irracional.