Question

Encontre o trigésimo termo da P.A (2,7,...)

Answer 1

Primeiro vamos encontrar a razão da PA.

Razão da PA ( r )
an = ak + ( n - k ) * r
2 = 7 + ( 1 - 2 )  *  r
2 = 7 - 1 * r
2 - 7 = -1 *  r
-5 / -1 = r
r = 5

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Com a razão calculamos o 30º termo da PA

an = ak + ( n - k ) * r
2 = a30 + ( 1 - 30 )  *  5
2 = a30 + (-29 )  *  5
2 = a30 - 145
2 + 145 = a30 
a30 = 147

Answer 2

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (2, 7,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 2

c)trigésimo termo (a₃₀): ?

d)número de termos (n): 30 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 30ª), equivalente ao número de termos.)

e)Embora não se saiba o valor do trigésimo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 7 - 2 ⇒

r = 5   (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o trigésimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₃₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₃₀ = 2 + (30 - 1) . (5) ⇒

a₃₀ = 2 + (29) . (5) ⇒         (Veja a Observação 2.)

a₃₀ = 2 + 145  ⇒

a₃₀ = 147

Observação 2:  Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O trigésimo termo da P.A(2, 7, ...) é 147.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₃₀ = 147 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o trigésimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₃₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

147 = a₁ + (30 - 1) . (5) ⇒

147 = a₁ + (29) . (5) ⇒

147 = a₁ + 145 ⇒       (Passa-se 145 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

147 - 145 = a₁ ⇒  

2 = a₁ ⇔                   (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 2                        (Provado que a₃₀ = 147.)

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