Question

(UFJF) Sabendo-se que o coeficiente angular da reta normal à parábola de equação
y = ax² + 2x + 5 é $- \ \frac{1}{4}$ no ponto de abcissa 1 , então podemos afirmar que a parábola :

a) tem concavidade voltada para baixo
b) não o eixo das abcissas
c) tem vértice no segundo quadrante
d) corta o eixo das ordenadas em y = 10
e) tem o eixo das ordenadas como o eixo de simetria

Answer 1

Olá Ludeen.

A Reta normal dessa parábola é perpendicular a reta tangente, e seu coeficiente angular pode ser encontrado utilizando derivadas.

Se a reta normal tem coeficiente -1/4, então a reta tangente tem o coeficiente angular igual a 4, devido a propriedade:

Se 2 retas, r e s, forem perpendiculares, então:

 $a_r=-\frac{1}{a_s}$

Derivando a função dada, temos:

$y=ax^2+2x+5\\y'=2ax+2$

A derivada é igual a 4 no ponto de abcissa 1, então:

$4=2a*1+2\\2a=2\\ a=1$

Se o a da função é positivo então a alternativa a está incorreta.

Supõe-se que a alternativa b diz:

b) Não corta o eixo das abcissas.

Vamos verificar se a função encontrada possui raízes:

$x^2+2x+5\ \ (a=1; b=2; c=5)\\ \Delta=b^2-4ac\\ \Delta=2^2-4*1*5\\ \Delta=4-20\\ \Delta=-16$

A função não possui raízes reais, então a alternativa b está correta.

c) Tem vértice no segundo quadrante.

Para satisfazer essas condições, a coordenada x do vértice deve ser negativa e a y, postitiva, para isso, recorremos às fórmulas:

$x_v=-\frac{b}{a}\\x_v=-2$

$y_v=-\frac{\Delta}{4a}\\ y_v=-\frac{-16}{4*1}\\y_v=4$

As duas condições foram satisfeitas, então a alternativa c também está correta.

d) Corta o eixo das ordenadas em y=10

Já de cara podemos afirmar que essa é falsa, pois o termo independente da função é igual a 5, então, ela corta em y=5, não em y=10.

e)Tem o eixo das ordenadas como eixo de simetria.

Como essa função representa uma parábola comum, então o eixo de simetria situa-se na mesma coordenada x que o vértice, que no caso já calculamos (Xv = -2), o que não satisfaz com o enunciado da alternativa, que exige que Xv seja igual a 0. Se não foi o caso, então está errada.

Portanto, a alternativa correta mais confiável é a letra C, sendo possível também a letra B, se a suposição utilizada for correta.

Dúvidas? Comente!