Question

Sabendo que o sen Θ = -3/5 e π ≤ Θ ≤ 3π/2. Determine:
(a) O sinal de cosΘ e tgΘ.
(b) O valor de cosΘ e tgΘ. (Use a relação fundamental da trigonometria).

Answer 1

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Sabemos que   sen θ = − 3/5,  e  π ≤ θ ≤ 3π/2,  isto é,  θ  é do  3º  quadrante.


(a)  No  3º  quadrante,  o cosseno é negativo,  e  a tangente é positiva.  Logo,

     •   cos θ < 0

     •   tg θ > 0


(b)

•   Calculando  cos θ:

    $\mathsf{sen\,\theta=-\,\dfrac{3}{5}}\\\\\\ \mathsf{5\,sen\,\theta=-\,3}$


Eleve os dois lados ao quadrado:

     $\mathsf{(5\,sen\,\theta)^2=(-\,3)^2}\\\\ \mathsf{25\,sen^2\,\theta=9}$


Pela Relação Fundamental da Trigonometria, temos que

     •   cos² θ + sen² θ = 1   ⇒   sen² θ = 1 − cos² θ


Substituindo, ficamos com

     $\mathsf{25\cdot (1-cos^2\,\theta)=9}\\\\ \mathsf{25-25\,cos^2\,\theta=9}\\\\ \mathsf{25\,cos^2\,\theta=25-9}\\\\ \mathsf{25\,cos^2\,\theta=16}\\\\ \mathsf{cos^2\,\theta=\dfrac{16}{25}}\\\\\\ \mathsf{cos^2\,\theta=\dfrac{4^2}{5^2}}$


Como  θ  é do  3º  quadrante,  cos θ  é negativo. Assim, obtemos

     $\mathsf{cos\,\theta=-\,\sqrt{\dfrac{4^2}{5^2}}}$

     $\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{cos\,\theta=-\,\dfrac{4}{5}}\end{array}}$          ✔
 

•   Calculando  tg θ:

Por definição, a tangente é o seno dividio pelo cosseno:

     $\mathsf{tg\,\theta=\dfrac{sen\,\theta}{cos\,\theta}}\\\\\\ \mathsf{tg\,\theta=\dfrac{-\,\frac{3}{5}}{~-\frac{4}{5}~}}\\\\\\ \mathsf{tg\,\theta=-\,\dfrac{3}{\diagup\!\!\!\! 5}\cdot \left(-\,\dfrac{\diagup\!\!\!\! 5}{4}\right)}$

     $\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{tg\,\theta=\dfrac{3}{4}}\end{array}}$          ✔


e obviamente, o resultado do cálculo de  tg θ  é positivo, pois o seno e o cosseno têm o mesmo sinal no  3º  quadrante.


Bons estudos! :-)