Question

ENCONTRAR AS RAÍZES DA EQUAÇÃO 3X^3 +2X^2 -7X+2=0

Answer 1

Boa tarde 

3x³ + 2x² - 7x + 2 = 0

x1 = 1

(3x³ + 2x² - 7x + 2)/(x - 1) = 3x² + 5x - 2 

3x² + 5x - 2 = 0

delta
d² = 25 + 24 = 49
d = 7

x2 = (-5 + 7)/6 = 1/3
x3 = (-5 - 7)/6 = -2

S = (-2, 1/3, 1)

Answer 2

Vamos lá.

Pede-se para encontrar as raízes da equação abaixo:

3x³ + 2x² - 7x + 2 = 0

Veja: quando temos uma equação de grau superior a "2", poderemos encontrar suas raízes com a utilização das relações de Girard, o que já foi visto em uma outra questão sua, quando tratamos sobre isso.
Contudo, se pudermos encontrar pelo menos uma das raízes sem a utilização das  relações de Girard (pois é algo bastante trabalhoso), seria muito importante. Normalmente, uma das raízes de uma equação do tipo da dada na sua questão é divisor ou múltiplo do termo independente. No caso, como o termo independente é igual a "2", então poderemos tentar ver se uma das raízes poderá ser "1" ou "2", por exemplo.
Note que, para saber isso, basta substituir o "x" por um desses números e ver se a equação zera (pois toda raiz zera a equação da qual ela é raiz).
Assim, vamos experimentar com "2". Fazendo isso, teríamos:

3*2³ + 2*2² - 7*2 + 2 = 3*8 + 2*4 - 7*2 + 2 = 24+8-14+2 = 20 <--- Como não zerou a equação para x = 2, então é porque "2" não é uma das raízes.

Vamos experimentar com "1":

3*1³ + 2*1² - 7*1 + 2 = 3*1 + 2*1 - 7*1 + 2 = 3+2-7+2 = 0 <--- Como zerou a equação, então é porque "1" é uma das raízes.

Agora como já sabemos que "1" é uma das raízes, então a equação da sua questão será divisível (deixa resto zero) pelo divisor: "x-1".
Então vamos fazer a divisão da equação da sua questão por "x-1". Assim teremos:

3x³ + 2x² - 7x + 2 |_x-1_ <--- divisor
. . . . . . . . . . . . . . . . 3x² + 5x - 2 <--- quociente
-3x³+3x²
----------------------
0 + 5x² - 7x + 2
...-5x² + 5x
-------------------------
.....0 - 2x + 2
.......+ 2x - 2
--------------------
..........0.....0 <--- Resto. Veja que tinha que ser zero mesmo, pois a equação dada é divisível por "x-1".

Agora vamos tomar o quociente e vamos encontrar as demais raízes. O quociente é este: 3x² + 5x - 2 ---- para encontrar suas raízes, vamos igualá-lo a zero. Logo:

3x² + 5x - 2 = 0 ----- se você aplicar Bháskara encontrará as seguintes raízes:

x' = -2
x'' = 1/3.

Pronto. As outras duas raízes são as que demos aí em cima.

Assim, as três raízes serão estas (colocando as raízes em ordem crescente):

x' = - 2
x'' = 1/3
x''' = 1

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução assim, o que dá no mesmo:

S = {-2; 1/3; 1}.

Observação: se não tivéssemos conseguido, com tanta facilidade, encontrar uma das raízes, então teríamos que utilizar as relações de Girard, o que iria dar um certo trabalho.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.