Question

Se f: R ---> R é uma função da forma f(x)= ax+b e (fof)(x) = x+4 para todo x real, então a inversa de f é?

Answer 1

Boa noite Claudia 

f(x) = ax + b

f(f(x)) = a*f(x) + b = x + 4 

a*(ax + b) + b = x + 4

a²x + ab + b = x + 4

a² = 1
a = 1

1*b + b = 4
2b = 4
b = 4/2 = 2

f(x) = x + 2

y = x + 2
x = y - 2
y = x - 2

f^-1(x) = x - 2 

Answer 2

Temos que f é uma função afim e f(f(x))=x+4,para qualquer x real.Veja que assim f(x)=ax+b,onde a,b ∈ R.Logo,vale que:

f(ax+b)=x+4 => a(ax+b)+b=x+4 => a²x+ab+b=x+4

Por identidade  de polinômios,inferimos que:

I.a²x=x <=> a=1
II.ab+b=4 => b+b=4 <=> b=2

Logo,f(x)=x+2.Agora,defina f(x)=y.Assim:

y=x+2 => x+2=y => x=y-2 => $f^{-1}(x)=x-2$ <--- esta é a inversa de f