Question

Considere que, em 2009, tenhamsido construído um modelo linear para a previsão de valores futuros do número de acidentes ocorridos nas estradas brasileiras. Nesse sentido, suponha que o número de acidentes no ano t seja represantado pela função f(t) = At + B, tal que f(2007) = 129.000 e f(2009) = 159.000. Com base nessas informações e no gráfico apresentado, calcule A e B.

Answer 1

Mesmo sem observar o gráfico, como se trata de um modelo linear, o gráfico deve representar uma reta. Assim, temos:

$\left \{ {{f(2007) = 129.000} \atop {f(2009) = 159.000}} \right.$ ⇒ $\left \{ {{2007A + B = 129.000 (-1)} \atop {2009A + B = 159.000}} \right.$ ⇒ $\left \{ {{-2007A - B = -129.000} \atop {2009A + B = 159.000}} \right.$ ⇒ $\left \{ {{2A = 30.000}} \right.$ ⇒ $\left \{ {{A = \frac{30.000}{2} }} \right.$ ⇒ A = 15.000

Trocando A em qualquer uma das equações iniciais obtemos B:

f(2009) = 159.000 ⇒ 2009(15.000) + 159.000 ⇒ 30.135.000 + B = 159.000 ⇒ B = 159.000 - 30.135.000 ⇒ B = -29.976.000

Assim, a função seria:

f(t) = 15.000t - 29.976.000


Outra maneira de responder essa questão seria isolando B em uma das equações que encontramos inicialmente da seguinte maneira:

 $\left \{ {{f(2007) = 129.000} \atop {f(2009) = 159.000}} \right.$ ⇒ $\left \{ {{2007A + B = 129.000} \atop {2009A + B = 159.000}} \right.$ ⇒

2007A + B = 129.000 ⇒ B = 129.000 - 2007A

Daí, basta trocar B na outra equação, f(2009):

2009A + B = 159.000 ⇒ 2009A + 129.000 - 2007A = 159.000 ⇒
2A = 159.000 -129.000 ⇒ A = $\frac{30.000}{2}$ ⇒ A = 15.000

Agora, basta trocar A na função de B encontrada anteriormente:

B = 129.000 - 2007A ⇒ B = 129.000 - 2007(15.000) ⇒ B = 129.000 - 30.105.000 ⇒ B = 29.976.000

Logo,

f(t) = 15.000t - 29.976.000