Question

Determine a área compreendida entre as circunferências das equações x²+y²+4x-2y-4=0 e x²+y²+4x-2y+2=0.

Answer 1

Primeiramente vamos definir 
$C_1: x^2+y^2+4x-2y-4=0$
$C_2: x^2+y^2+4x-2y+2=0$

Agora vamos reduzir as equações das circunferências para encontrarmos seus respectivos raios.

Para $C_1$:
$x^2+y^2+4x-2y-4=0$ ⇒ $x^2+4x+4-4+y^2-2y+1-1-4=0$ ⇒ $(x+2)^2+(y-1)^2=9$

Assim, o raio da circunferência $C_1$ será $r= \sqrt{9}=3$.

Para $C_2$:
$x^2+y^2+4x-2y+2=0$ ⇒ $x^2+4x+4-4+y^2-2y+1-1+2=0$ ⇒ $(x+2)^2+(y-1)^2=3$

Assim, o raio da circunferência $C_2$ será $r= \sqrt{3}$.

Como ambas as circunferências possuem o mesmo centro e raios diferentes, deduz-se que $C_2$⊂$C_1$.

A área procurada será a seguinte:

$A=A(C_1)-A(C_2)$ ⇒ $A=[ \pi (3)^2]-[ \pi ( \sqrt{3} )^2]$ ⇒ $A=9 \pi -3 \pi$ ⇒ $A=6 \pi$.

Logo, a área é $A=6 \pi$.