Question

determine a posição da reta × - 2y + 6 =0 em relação a x ao quadrado + y ao quadrado + 8x + 10y + 25 = 0

Answer 1

Há três possibilidades. Vejamos:

1- Se a reta intersecta a circunferência em 2 ponto distintos a reta é secante à circunferência.
2- Se a reta intersecta a circunferência em apenas 1 ponto a reta é tangente à cincunferência.
3- Se a reta não intersecta a circunferência em nenhum ponto a reta é exterior a circunferência.

Portanto, vamos tentar determinar se há e quais são os ponto de intersecção entre a reta e a circunferência.
Para isso, vamos substituir a equação da reta na equação da circunferência.

Pela equação da reta, temos que:

x - 2y + 6 = 0
x = 2y - 6

Vamos substituir o valor de "x = 2y - 6" obtido acima na equação da circunferência.

x² + y² + 8x + 10y + 25 = 0
(2y - 6)² + y² + 8 * (2y - 6) + 10y + 25 = 0
(4y² - 24y + 36) + y² + (16y - 48) + 10y + 25 = 0
4y² + y² - 24y + 16y + 10y + 36 - 48 + 25 = 0
5y² + 2y + 13 = 0

a = 5
b = 2
c = 13

Δ = b² - 4ac
Δ = 2² - 4 * 5 * 13
Δ = 4 - 260
Δ = -256

Como o valor de Δ é negativo (Δ < 0), não há soluções reais para y na equação "5y² - 2y + 13 = 0"

Portanto, a reta e a circunferência não possuem pontos em comum, logo a reta é exterior à circunferência.