Question

Alguém poderia me explicar?
- Em um trapézio retângulo ABCD, a base menor AB, a base maior CD e a altura AD medem, respectivamente 6cm, 8cm e 2√3cm. Calcule os ângulos do triângulo BCD.

*Obs: Eu não entendi como fica o triângulo dentro desse trapézio. Meus cálculos sempre saem com uma raiz junto(ToT).

Answer 1

Olá. Essa é uma questão sobre Trigonometria.

Fiz o desenho no paint para facilitar a visualização do triângulo em questão.

Dados da questão:
AB = 6
CD = 8
AD = 2√3

Primeiramente devemos calcular a hipotenusa do triângulo formado pelos vértices ABD, em seguida estabelecer as relações de seno ou cosseno para identificar os ângulos do vértice D e do vértice B, lembrando que a soma dos ângulos internos dos triângulos sempre é igual a 180º. E por último devemos encontrar os ângulos do triângulo BCD.

Desta forma temos que o triângulo ABD é composto pelo cateto AD = 2√3cm e pelo cateto AB = 6

Assim a Hipotenusa DB pode ser calculada usando o teorema de pitágoras:

(2√3cm)² + 6² = DB²

DB = √(12 + 36) = √48 = 4√3 que é um dos lados do triângulo BCD

Podemos então calcular a hipotenusa CB do outro triângulo formado por um vértice projetado do trapézio retângulo que chamarei de E.

CB² = EB² +CE²

CB² = 2² + (2√3cm)²

CB = √(4+4.3) = √16 = 4

Assim podemos inferir qual o ângulo do vértice C do triângulo BCD através do Sen do Vértice C do triângulo BCE.

$SenC_{BCE} = \frac{BE}{BC}$

$SenC_{BCE} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Dado que o sen de $SenC_{BCE} = \frac{1}{2}$  podemos identificá-lo na tabela trigonométrica dos ângulos notáveis de seno, onde equivale ao ângulo de 30º

Assim o ângulo do vértice C do triângulo BCD é igual 60º. (90-30)
Da mesma forma que o ângulo B do triângulo BCE é igual a 60º

Fazendo a mesma relação com o triângulo ABD, descobrindo o sen do vértice B:

$SenB_{ABD} = \frac{AD}{BD}$

$SenB_{ABD} = \frac{2 \sqrt{3} }{4 \sqrt{3} }$

$SenB_{ABD} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Sendo assim o ângulo B do triângulo ABD também é 30º

Desta forma sabendo que os ângulos da base somam 180º então temos que o ângulo do vértice B do triângulo BCD é 90º (180-30-60)

Usando então que a soma dos ângulos internos do triângulo BCD deve ser = 180º podemos inferir que o ângulo do vértice D é igual a 30º

Sendo assim, o triângulo BCD é um triângulo retângulo com os ângulos equivalentes a 30º, 60º e 90º.

Coloquei o primeiro desenho com as informações dadas na questão e a projeção do vértice "E" o segundo desenho contém os dados calculados.

Bons Estudos!!!