Question

Resolver as inequações, em R: x-1 / x+1 = ≥3 e 1/x-1 < 2/x-2?

Answer 1

Resolver a primeira inequação do tipo quociente

$\mathtt{\dfrac{x-1}{x+1}\geq 3}\quad\quad\texttt{com }x\ne -1}$


Primeiro vamos zerar o lado direito

$\mathtt{\dfrac{x-1}{x+1}- \dfrac{3\cdot (x+1)}{x+1}\geq 0}\\\\\\ \mathtt{\dfrac{x-1-3x-3}{x+1}\geq 0}\\\\\\ \mathtt{\dfrac{-2x-4}{x+1}\geq 0}$


$\left.\begin{matrix} \begin{array}{l} \textsf{Numerador}\\\\\\ \mathsf{-2x-4\geq 0}\\\\ \mathsf{-2x\geq 4}\\\\ \mathsf{~~2x\leq -4}\\\\ \mathsf{~~x\leq -2} \end{array} \end{matrix}\right|\begin{matrix} \begin{array}{l}\textsf{Denominador}\\\\\\ \mathsf{x+1\geq 0}\\\\ \mathsf{x\ \geq \ -1}\\\\\\\\\\ \end{array} \end{matrix}$


Fazendo a análise de sinais

$\begin{array}{cc} \mathtt{N}~&~\mathtt{\underline{----}\underset{-2}\bullet \underline{++++++++}} \end{array}\\\\ \begin{array}{cc} \mathtt{D}~&~\mathtt{\underline{--------}\underset{-1}{\circ}\underline{++++}} \end{array}\\\\\\ \begin{array}{cc} \mathtt{Q}~&~\mathtt{\underline{++++}\underset{-2}\bullet \underline{---}\underset{-1}{\circ} \underline{++++}} \end{array}$


$\mathsf{S=[-2,-1[}$


ok

__________


Para a segunda inequação do tipo quociente temos

$\mathtt{\dfrac{1}{x-1}\ \textless \ \dfrac{2}{x-2} }\quad\quad\texttt{com }x\ne 1\quad e\quad x\ne 2}$


Primeiro temos que zerar o lado direito

$\mathtt{\dfrac{1}{x-1}- \dfrac{2}{x-2}\ \textless \ 0}\\\\\\ \mathtt{\dfrac{(x-2)-2\cdot (x-1)}{(x-1)\cdot (x-2)}\textless 0}\\\\\\ \mathtt{\dfrac{x-2-2x+2}{(x-1)\cdot (x-2)}\textless 0}\\\\\\ \mathtt{\dfrac{-x}{(x-1)\cdot (x-2)}\textless 0}$


$\left.\begin{matrix} \begin{array}{l} \textsf{Numerador}\\\\\\ \mathsf{-x\ \textless \ 0}\\\\ \mathsf{x\ \textgreater \ 0}\\\\ \end{array} \end{matrix}\right|\begin{matrix} \begin{array}{l}\textsf{Denominador}\\\\\\ \mathsf{(x-1)\cdot (x-2)\ \textless \ 0}\\\\ \mathsf{x\ \textgreater \ 1\quad e \quad x\ \textless \ 2}\\\\ \end{array} \end{matrix}$


Para o denominador eu encontrei o trecho negativo através da lógica. Concorda que as raízes são 1 e 2? Se colocarmos qualquer um desses valores a equação ela vai zerar. Concorda também que a função tem concavidade voltada pra cima porque se fizermos a distributiva teremos + x²? Em uma função do segundo grau com concavidade pra cima o trecho entre as raízes é negativo. Esse trecho vai de 1 a 2.


Agora por fim vamos fazer a análise de sinais


$\mathsf{N\quad \underline{++}\underset{0}{\circ} \underline{----------}}\\\\ \mathsf{D\quad \underline{+++++}\underset{1}{\circ}\underline{----}\underset{2}{\circ}\underline{++}}\\\\\\ \mathsf{Q\quad \underline{++}\underset{0}{\circ}\underline{---}\underset{1}{\circ} \underline{+++}\underset{2}{\circ}\underline{--}}$


$\mathsf{S=]0,1[\quad \cup \quad]2,+\infty[}$


ok


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :)