Question

Numa PA, a2 + a6 = -6 e a5 + a8 = 9. Calcule a1 e r. Explique.

Answer 1

O termo geral de uma $\texttt{PA}$ é $a_n=a_1+(n-1)\cdot r$.

Assim:

$a_2=a_1+r \ \ \ \ \ \ a_6=a_1+5r$

$a_5=a_1+4r \ \ \ \ \ a_8=a_1+7r$

Pelo enunciado, $a_2+a_6=-6$ e $a_5+a_8=9$. Com isso, podemos escrever:

$a_1+r+a_1+5r=-6 \iff 2a_1+6r=-6 \iff a_1+3r=-3$

e $a_1+4r+a_1+7r=9 \iff 2a_1+11r=9$

Obtemos o sistema $\begin{cases} a_1+3r=-3 \\ 2a_1+11r=9 \end{cases}$.

Multiplicando a primeira equação por $(-2)$:

$\begin{cases} a_1+3r=-3 \cdot (-2) \\ 2a_1+11r=9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -2a_1-6r=6 \\ 2a_1+11r=9 \end{cases}$

Somando membro a membro, temos:

$-2a_1+2a_1-6r+11r=6+9 \iff 5r=15 \iff r=\dfrac{15}{5} \iff r=3$

Substituindo na primeira equação, segue que:

$a_1+3r=-3 \iff a_1+3\cdot3=-3 \iff a_1+9=-3 \iff a_1=-12$