Question

Demosntre que para todos ∀n∈N:

A) $8^{n+2}+9^{2n+1}$ 'e divisivel por 73.

'*E valido o uso da Inducao Matematica*

Answer 1

Para $n=1$, temos

$8^{1+2}+9^{2+1}=8^{3}+9^{3}=512+729=1241=73\cdot17$

A base é válida.

Vamos supor que seja verdade para $n=k$, e a partir disso, tentaremos mostrar que é válida também para $n+1=k+1$.

Temos que

$8^{k+2+1}+9^{2(k+1)+1}=8^{k+3}+9^{2k+3}$

Sabemos que $73$ divide $8^{k+2}+9^{2k+1}$, assim basta mostrar que $73$ divide 

$8^{k+3}+9^{2k+3}-8^{k+2}-9^{2k+1}=8^{k+2}\cdot(8-1)+9^{2k+1}\cdot(9^2-1) = 7\cdot8^{k+2}+80\cdot9^{2k+1}$

Sabemos que $8^{k+2}+9^{2k+1} \equiv 0\pmod{73}$

Assim, $80\cdot8^{k+2}+80\cdot9^{2k+1} \equiv 0\pmod{73}$

E $7\cdot8^{k+2}+7\cdot9^{2k+1} \equiv\pmod{73}$