Question

Considere quatro trapézios idênticos, com bases medindo 50 cm e 30 cm e lados não paralelos de mesmas medidas, conforme figura que segue. Unindo esses trapézios formamos um quadrado de 2500 cm2 de área, que apresentada um "buraco" quadrado no meio. Usando noções sobre áreas, determine o perímetro, em cm, de cada um dos quatro trapézios.

Answer 1

A área do triângulo maior é $50^2=2500~\texttt{cm}^2$.

E a área do triângulo menor é $30^2=900~\texttt{cm}^2$.

Logo, a área correspondente aos trapézios é $2500-900=1600~\texttt{cm}^2$.

E portanto, a área de cada trapézio é $1600\div4=400~\texttt{cm}^2$.

A área de um trapézio é dada por $S=\dfrac{(B+b)\cdot h}{2}$.

Temos que $400=\dfrac{(50+30)\cdot h}{2} \iff 80h=800 \iff h=10~\texttt{cm}$

Falta apenas descobrir a medida dos lados não paralelos do trapézio.

Traçando a altura do trapézio a partir de uma das extremidades da base menor, obtemos um triângulo retângulo.

Com catetos $10$ e $10$ e hipotenusa $x$. Pelo Teorema de Pitágoras:

$10^2+10^2=x^2 \iff x^2=100+100 \iff x^2=200 \iff x=10\sqrt{2}~\texttt{cm}$

Logo, o perímetro de cada trapézio é

$30+50+10\sqrt{2}+10\sqrt{2}=80+20\sqrt{2}=20\cdot(4+\sqrt{2})~\texttt{cm}$